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| Aufgabe | | Für eine Bewässerungsanlage sollen Kanäle aus 4 Betonplatten von je 30 cm Breite zusammengefügt werden, so dass der Boden des Kanals aus 2 Platten zu einem dreieckigen Querschnitt zusammengesetzt wird und die Wände aus je einer senkrecht gestellten Platte gebildet werden. Unter welchem Winkel müssen die unteren Platten zusammengefügt werden, damit der Kanalquerschnitt möglichst groß wird? |
Ziel: [mm] A\to [/mm] Maximum
[mm] A_{Gesamt}=A_{Rechteck}+A_{Dreieck}
[/mm]
c sei die Hypotenuse des Dreiecks. c variiert in Abhängigkeit vom gegenüberliegenden Winkel.
Bedingung: [mm] \sin \left( \bruch{\alpha}{2} \right)=\left( \bruch{\left( \bruch{c}{2} \right)}{30} \right), [/mm] also [mm] c=60*\sin\left( \bruch{\alpha}{2} \right).
[/mm]
Für [mm] A_{Dreieck} [/mm] konnte ich mir nur eine Formel über die Höhe zurechtbasteln, also [mm] A_{Dreieck}= \left( \bruch{1}{2} \right)*c*\wurzel{30^2 - \left( \bruch{c}{2} \right)^2}.
[/mm]
Wenn ich nun [mm] A_{Rechteck}+A_{Dreieck} [/mm] bilde komme ich leider zu keiner Vereinfachung und kann es auch nicht ableiten.
Kann mir da bitte jmd. helfen oder hat da jmd. eine andere Idee?
Vielen Dank vorab!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
wenn du schon den Winkel [mm] \alpha [/mm] als Variable
eingeführt hast, dann bleibe dabei ! Die
Höhe des gleichschenkligen Dreiecks ist
dann [mm] h=30*cos(\alpha/2) [/mm] und sein Flächeninhalt
[mm] A_{Dreieck}=\bruch{c}{2}*h=30*sin(\alpha/2)*30*cos(\alpha/2)
[/mm]
Mit Hilfe der Doppelwinkelformel sin(2x)= .....
kann man dies vereinfachen. Als Zielfunktion
erhältst du dann
[mm] A_{Gesamt}=A_{Rechteck}+A_{Dreieck}=30*c+A_{Dreieck}= [/mm] .....
Das c darin kannst du auch mittels [mm] \alpha [/mm] darstellen
und hast dann eine Zielfunktion mit der Variablen [mm] \alpha.
[/mm]
Alternativ wäre es z.B. möglich, anstatt einen Winkel
die Höhe h des Dreiecks als Variable zu benützen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:18 Mi 31.12.2008 | | Autor: | p101288896 |
vielen dank!!! mit der hilfe konnte ich weiterrechnen!
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