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Hallo,
T(x) (3-x)*(x+11) = 3x + 33 - [mm] x^2 [/mm] - 11x = -8x + 33 - [mm] x^2 [/mm] = ich drehe die zahlen um, um quadratisch ergänzen zu können: [mm] -x^2 [/mm] - 8x + 33 =
-x [ x + 8 ] + 33 = -x [x + 8 - [mm] 4^2 [/mm] + [mm] 4^2] [/mm] + 33 = -x [(x + [mm] 4)^2 [/mm] + 16] + 33
Frage: jetzt müsste ich doch das was vor der Klammer steht mit der 16 multiplizieren - das ist mir klar (nach 2 Wochen...), ABER: mit Vorzeichenregel oder ohne?
Mit wäre -16 ( - (x) * 16)
also - x [mm] (x+4)^2 [/mm] +17 oder geht es bei diesem Schritt nur darum, das was vor der Klammer steht mit dem hinteren Teil (hier 16) zu multiplizieren? Wäre die Lösung dann +49 (16+33)
Zudem: [mm] -2^2 [/mm] = +4, ok. [mm] -2x^2 [/mm] = [mm] -4x^2 [/mm] weil nur das x berücksichtigt wird?
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Hi, Janine,
> T(x) (3-x)*(x+11) = 3x + 33 - [mm]x^2[/mm] - 11x = -8x + 33 - [mm]x^2[/mm] =
> ich drehe die zahlen um, um quadratisch ergänzen zu können:
> [mm]-x^2[/mm] - 8x + 33 =
>
> -x [ x + 8 ] + 33 = -x [x + 8 - [mm]4^2[/mm] + [mm]4^2][/mm] + 33 = -x [(x +
> [mm]4)^2[/mm] + 16] + 33
Aber! So geht doch keine quadratische Ergänzung!
[mm] -(x^{2} [/mm] + 8x + 16 - 16) + 33
= [mm] -((x+4)^{2} [/mm] - 16) + 33
= [mm] -(x+4)^{2} [/mm] +16 +33
= [mm] -(x+4)^{2} [/mm] +49
Scheitel: S(-4/49).
Da die Parabel nach unten geöffnet wird, ist der Scheitel der höchste Punkt; daher liegt das Maximum bei 49.
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 So 09.10.2005 | | Autor: | Janine_8b |
du hast das x vergessen:
[mm] -x(x+4)^2 [/mm] + 49
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 So 09.10.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Janine,
> du hast das x vergessen:
>
> [mm]-x(x+4)^2[/mm] + 49
Also, dann multipliziere ich Deinen Term mal aus:
[mm] -x(x+4)^{2} [/mm] + 49
= [mm] -x(x^{2} [/mm] + 8x + 16) + 49
= [mm] -x^{3} [/mm] - [mm] 8x^{2} [/mm] - 16x + 49
Und nun entscheide selbst:
War das der Term, den Du anfangs vorgegeben hattest?!
Sicher nicht!
Wo Du auch immer dieses seltsame x herkriegst:
ES STIMMT NICHT!
VERGISS ES MÖGLICH BALD WIEDER!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 So 09.10.2005 | | Autor: | Janine_8b |
ok, danke. Da habe ich die ganze Zeit den Fehler mit dem x gemacht.
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Hallo Janine_8b!!!!!!
... und einen schönen Nachmittag!!!!
Ich möchte mal auf die quadratische Ergäzung eigehen, sie an einem Beispiele klar machen.
Dazu sei eine quadrtische Gleichung
[mm] 10x²-50x-5000=0 [/mm]
gegeben.
Nun, was ist der erste sinnvolle Schritt?
Um das zu klären, wir haben dort eine quadrtische Gleichung der Allgemeinform [mm]a*x²+bx+c=0[/mm] vor uns.
Damit gilt für die Koeffizienten folgendes:
[mm]a=10[/mm], [mm]b=-50[/mm] und [mm]c=-5000[/mm]
Nun was machen jetzt?
Wir überführen diese quadartische Gleichung in die Normalform der quadratischen Gleichung [mm]x²+px+q=0[/mm].
Was mussten wir dazu tun? Durch [mm]a[/mm].
Machen wir es an unserem Beispiel! Wir teilen also durch [mm]10[/mm].
Gesagt, getan, wir erhalten die Normalform der qudratischen Gleichung:
[mm]x²-5x-500=0[/mm]
So weit, so klar, oder?
Aber was den blos nun, um nach [mm]x[/mm] umzustellen oder auszulösen.
Es gibt nur eine Antwort: Die quadartische Ergänzung!
Wie aber machen wir das?
Wir vergleichen unsere quadratische Gleichung, mit der zweiten binomischen Formel, also
[mm]x²-5x-500=0[/mm]
und
[mm](a-b)²=a²-2ab+b²[/mm]
Nun vergleichen wir einmal genauer:
Das [mm]x²[/mm] enstrpicht dem [mm]a²[/mm], die [mm]5[/mm] einem Vielfachen der [mm]2[/mm] und das [mm]x[/mm] dem [mm]a[/mm].
Aber wo steckt das [mm]b[/mm] und erst recht das [mm]b²[/mm]?
Es bleibt wohl nur das Suchen...Aber wie denn nur?
Also, um das [mm]b[/mm] aus [mm]5x[/mm] zu erhalten, musst du fogende Dinge tuhen, welche wir später als qudratische Ergänzung bezeichnen werden:
1. Wir teilen die Zahl vor dem [mm]x[/mm] durch zwei, wir erhalten: [mm] \left \bruch{5x}{2} \right=2,5x[/mm]
2. Wir teilen die das Zwischenergebnis von gerade durch [mm]x[/mm], also [mm]\left \bruch{2,5x}{x} \right=2,5[/mm]. Es muss aber noch etwas geschehen, dieser Wert muss quadriert werden. Den Wert, den wir an diesem Schritt erreicht haben, also [mm]2,5²=6,25[/mm] bezeichnen wir als Wert, den wir später ergänzen und auch wieder abbziehen werden.
3. Wir nehmen wieder unsere quadartische Gleichung und addierenunseren erhaltenen Wert von [mm]6,25[/mm]. Das sieht dann so aus:[mm]x²-5x\red{+6,25}-500=0[/mm]
4. Da wir nun einen Wert, [mm]6,25[/mm], nur auf der rechten Seite der
Gleichung hinzuaddiert haben, würde wir die Gleichung nicht korrektumstellen, sie wäre nicht mehr äuqivalent. Daher ziehen wir dengleichen Wert am Ende der Gleichung wieder ab, schau, was passiert:
[mm]x²-5x\red{+6,25}-500\blue{-6,25}=0[/mm]
Was wir nun für eine besondere Form der Gleichung zeugt haben, zeigt der erneute Vergleich mit der zweiten binomischen Formel: [mm](a-b)²=a²-2ab+b²[/mm]
und
[mm]x²-5x\red{+6,25}-500\blue{-6,25}=0[/mm]
Unser [mm]a²[/mm] entspricht noch dem [mm]x²[/mm], unsere [mm]5[/mm] enstrpicht immer noch dem Vielfachen der [mm]2[/mm], aber ganz wichtig, die ergänzte [mm]6,25[/mm] enspricht dem [mm]b²[/mm]!
Das ist ganz, ganz wichtig, denn jetzt sind der erstmals in der Lage, [mm]x²-5x\red{+6,25}[/mm], dieses "Stück" der quadartischen Gleichung, als die "linke" Seite der zweiten binomischen Formel zu schreiben. Machen wir es doch! Punkt 5!
5. Wir schreiben also [mm]x²-5x\red{+6,25}[/mm] nun als
[mm](x-2,5)²[/mm]. Was ist aber nun mit dem "Rest" der quadratischen Gleichung? Nicht viel, wir hängen ihn einfach an! Punkt 6!
6. Wir haben also nun [mm]x²-5x\red{+6,25}[/mm] schon als [mm](x-2,5)²[/mm] geschrieben. Die vollständige quadratische Gleichung hieß jedoch [mm]x²-5x\red{+6,25}-500\blue{-6,25}=0[/mm].
Das bedeutet, wir müssen noch etwas mit dem "hinteren" Teil der quadartischen Gleichung machen, nämlich mit
[mm]-500\blue{-6,25}=0[/mm]. Aber das ist nicht schwer, wir rechnen es einfach aus, fassen zusammen und erhalten natürlich [mm]-506,25=0[/mm], wieder in den Rest der quadartischen Gleichung angehängt, ergibt sich letzendlich folgendes:
[mm](x-2,5)²-506,25=0[/mm]
SUPER: Wir haben unser Ziel erreicht! Die quadratische Ergäntunz ist durchgeführt.
Nun ist es wohl nicht mehr schwer, die Gleichung in unserer "neuen" Form nach [mm]x[/mm] umzustellen oder aufzuösen!
Wir brigen bei unserer neuen Gleichung
[mm](x-2,5)²-506,25=0[/mm]
erst bringen wir die Zahl [mm]-506,25[/mm] rüber, wir addieren es. Es ensteht:
[mm](x-2,5)²=506,25[/mm]
Wir ziehen nun beidseitig die Wurzel, notieren jedoch auf der "linken" Seite sowohl die positive, als auch die negative Wurzel.
Es ensteht:
[mm]x-2,5=\pm22,5[/mm]
Nun können wir zwei Lösungen notieren:
Eine,[mm]x_1[/mm] dadruch, dass wir die negative Wurzel betrachten, also so:
[mm]x_1-2,5=-22,5[/mm]
Dort addiert man dann [mm]2,5[/mm] und erhält
[mm]x_1=-20[/mm]
Und die zweite[mm]x_2[/mm], dadurch, dass wir die positive Wurzel betrachten,
also:
[mm]x_2-2,5=22,5[/mm]
Dort subrtahiert man dann [mm]2,5[/mm] und erhält
[mm]x_2=25[/mm]
Wir haben also beide Lösungen gefunden, mit Hilfe der quadartischen Ergänzung!
Ohne diese wäre dies nicht möglich gewesen! Probiere es doch mal anders!
Hoffe, diese Erläuterung kann dir helfen, auch, wenn sie etwas lang geworden ist!!!!!!!!
Mit den besten Grüßen
Goldener_Sch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 So 09.10.2005 | | Autor: | Janine_8b |
Vielen Dank! Gruß Janine
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