Extremwert Teil 2 < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 So 12.05.2013 | | Autor: | Sancezz |
| Aufgabe | Ein Maschinenteil besteht aus einem quaderförmigen Grundkörper
mit einem zylindrischen Zapfen. Das Gesamtvolumen beträgt [mm] 20cm^3. [/mm]
Der Zapfendurchmesser d soll halb so groß wie die Kantenlänge a sein.
Da eine teure Oberflächenbehandlung erforderlich ist, soll die Oberfläche möglichst klein sein.
Wie sind die Maße a, b und d für die minimale
Oberfläche zu wählen? |
HB: O (a,b,d) = /pi * r² + 2 * /pi * r * h + 2*a² - /pi*r² + 4*a*b
NB: V = a² * b + /pi * r² *b/2 = 20cm³
Bin ich soweit schonmal auf den richtigen Weg?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 So 12.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Ein Maschinenteil besteht aus einem quaderförmigen
> Grundkörper
> mit einem zylindrischen Zapfen. Das Gesamtvolumen
> beträgt [mm]20cm^3.[/mm]
> Der Zapfendurchmesser d soll halb so groß wie die
> Kantenlänge a sein.
Hallo,
was ist "die Kantenlänge a"?
Hast du eventuell verschwiegen, dass der Quader eine quadratische Grundfläche mit der Seitenlänge a haben soll? Darauf deutet zumindest der erste Summand deiner Nebenbedingung hin. Im zweiten Summanden benennst du aber plötzlich mit "b/2", was nach deinem Aufgabentext eigentlich a/2 sein sollte.
Bitte überarbeite die Aufgabenstellung so, dass sie für potenzielle Helfer klar ist.
Gruß Abakus
> Da eine teure Oberflächenbehandlung erforderlich ist,
> soll die Oberfläche möglichst klein sein.
> Wie sind die Maße a, b und d für die minimale
> Oberfläche zu wählen?
> HB: O (a,b,d) = /pi * r² + 2 * /pi * r * h + 2*a² -
> /pi*r² + 4*a*b
>
> NB: V = a² * b + /pi * r² *b/2 = 20cm³
>
>
> Bin ich soweit schonmal auf den richtigen Weg?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 So 12.05.2013 | | Autor: | Sancezz |
Hallo, habe ein Zeichnung zur Verdeutlichung mit eingefügt. Ja Quader hat eine Grundseite von a*a. b/2 ist die länge des Zylindrischen Zapfens und b ist die Gesamte Länge von Quader & Zapfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 12.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, habe ein Zeichnung zur Verdeutlichung mit
> eingefügt. Ja Quader hat eine Grundseite von a*a. b/2 ist
> die länge des Zylindrischen Zapfens und b ist die Gesamte
> Länge von Quader & Zapfen.
Dann gibt es für das Volumen zwei Varianten:
Variante 1:
[mm] V=a^2\cdot\frac{b}{2}+\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}
[/mm]
Variante 2:
[mm] V=a^2\cdot b-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}
[/mm]
Hierbei wird der Zylinder aus der "langen quadratischen Säule ausgeschnitten
Beide sind mit leichten Umformungen ineinander überführbar.
Für die Oberfläche kannst du die Oberfläche der Säule berechnen, und dazu die Mantelfläche des Zylinders.
Den "Boden" des Zylinders kannst du weglassen, da du diesen ja auch von der Säulenoberfläche subtrahieren müsstest, denn dort fehlt genau dieser Zylinderboden.
Also hast du:
[mm] $O=2\cdot a^{2}+4\cdot a\cdot\frac{b}{2}+2\cdot\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)\cdot\frac{b}{2}
[/mm]
Vereinfache die Formeln nun noch, erstetze [mm] d=\frac{a}{2}
[/mm]
Danach kannst du mit der üblichen Berechnung solcher Extremwertaufgaben beginnen, also:
-Umformung der Nebenbed.
-Einsetzen in die Hauptbed, also die zu optimierende Größe
-Vereinfachen dieses Terms zur Zielfunktion
-Die Extrempunkte der Zielfunktion bestimmen
....
Marius
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:09 So 12.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> > Hallo, habe ein Zeichnung zur Verdeutlichung mit
> > eingefügt. Ja Quader hat eine Grundseite von a*a. b/2
> ist
> > die länge des Zylindrischen Zapfens und b ist die
> Gesamte
> > Länge von Quader & Zapfen.
>
> Dann gibt es für das Volumen zwei Varianten:
>
> Variante 1:
>
> [mm]V=a^2\cdot\frac{b}{2}+\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}[/mm]
>
>
> Variante 2:
>
> [mm]V=a^2\cdot b-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}[/mm]
Hallo,
Variante 2 stimmt aber nicht. Da ist nicht der zylindrische Zapfen dran. Das hat dort ein Loch, wo dieser Zapfen sein sollte.
Gruß Abakus
>
> Hierbei wird der Zylinder aus der "langen quadratischen
> Säule ausgeschnitten
> Beide sind mit leichten Umformungen ineinander
> überführbar.
>
> Für die Oberfläche kannst du die Oberfläche der Säule
> berechnen, und dazu die Mantelfläche des Zylinders.
> Den "Boden" des Zylinders kannst du weglassen, da du
> diesen ja auch von der Säulenoberfläche subtrahieren
> müsstest, denn dort fehlt genau dieser Zylinderboden.
>
> Also hast du:
> [mm]O=2\cdot a^{2}+4\cdot a\cdot\frac{b}{2}+2\cdot\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)\cdot\frac{b}{2}[/mm]
>
> Vereinfache die Formeln nun noch, erstetze [mm]d=\frac{a}{2}[/mm]
>
> Danach kannst du mit der üblichen Berechnung solcher
> Extremwertaufgaben beginnen, also:
> -Umformung der Nebenbed.
> -Einsetzen in die Hauptbed, also die zu optimierende
> Größe
> -Vereinfachen dieses Terms zur Zielfunktion
> -Die Extrempunkte der Zielfunktion bestimmen
> ....
>
> Marius
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 00:23 Mo 13.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> >
> > Variante 2:
> >
> > [mm]V=a^2\cdot b-\pi\cdot\left(\frac{d}{2}\right)^{2}\cdot\frac{b}{2}[/mm]
>
> Hallo,
> Variante 2 stimmt aber nicht. Da ist nicht der
> zylindrische Zapfen dran. Das hat dort ein Loch, wo dieser
> Zapfen sein sollte.
> Gruß Abakus
Hallo Abakus.
Du hast recht, ich streiche das sofort.
Danke.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 So 12.05.2013 | | Autor: | Sancezz |
also V= a² * b/2 + [mm] \pi [/mm] * (a/2//2) * b/2 = 20cm3
Nach welcher Variabel sollte man nun umstellen ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 So 12.05.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
Nimm einfach die, nach deßr du einfacher aufloesen kannst.
Gruss. Leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 So 12.05.2013 | | Autor: | Sancezz |
Für mich ist das nicht mehr plausibel.. ich steh aufm Schlauch..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Mo 13.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Für mich ist das nicht mehr plausibel.. ich steh aufm
> Schlauch..
Löse doch die Nebenbedingung nach einer Variablen auf, und ersetze damit die Variable in der Hauptbedingung, dann hast dz deine Zielfunktion.
Marius
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