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Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse 6 cm erzeugt bei Rotation um eine Kathete den Rotationskörper größten Volumens? Ich weiss, dass der Körper der durch diese Rotation raus kommt ein Kegel ist und dessen Volumen Berechnung wie folgt ist: 1/3 x b² x pi x a!
Nur jetzt weiss ich nicht wie der Flächeninhalt eines Kegels berechnet wird, und wie ich die übrigen 2 punkte berechnen soll?
Bitte um Hilfe, meine erste Frage ist nicht so wichtig, die ist mir wichtiger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Fugre |
> Welches rechtwinklige Dreieck mit der Hypotenuse 6 cm
> erzeugt bei Rotation um eine Kathete den Rotationskörper
> größten Volumens? Ich weiss, dass der Körper der durch
> diese Rotation raus kommt ein Kegel ist und dessen Volumen
> Berechnung wie folgt ist: 1/3 x b² x pi x a!
> Nur jetzt weiss ich nicht wie der Flächeninhalt eines
> Kegels berechnet wird, und wie ich die übrigen 2 punkte
> berechnen soll?
> Bitte um Hilfe, meine erste Frage ist nicht so wichtig, die
> ist mir wichtiger
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Hallo kannnichtalles,
bei solchen Aufgaben ist es am sinnvollsten, wenn du zunächst eine Skizze anfertigst.
Das habe ich jetzt mal gemacht, das Dreieck liegt, wie du siehst, im Koordinatenkreuz.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Hypotenuse ist heißt c und die Seite an Kathete an der gespiegelt wird nennen wir a und diese liegt auf der x Achse.
Die Seite c entspricht ja einem Abschnitt des Graphen der Ursprungsgeraden $f(x)=mx$ mit einer Länge von 6.
Wir können also schon einmal das Bekannte notieren:
(1) $f(x)=mx$
(2) $V= [mm] \integral_{0}^{x_0} {f(x)^2 dx} [/mm] $ bzw [mm] $V=\bruch{1}{3} [/mm] Ah$
Nun sollten wir uns das Integral einmal anschauen. Die Funktion (des Dreiecks) lautet $y=mx$ .
Und wir sollten uns überlegen welche Grenzen das Intervall hat. Die untere Grenze ist mit 0 leicht zu finden, bei der oberen
werden wir auch schnell feststellen können, dass sie [mm] $x_0$ [/mm] ist, diese Angabe können wir mit dem Satz des Pythagoras aber
noch etwas ergiebiger gestalten.
[mm] $x_0^2+y_0^2=36 \rightarrow x_0=\wurzel{36-y_0^2}$
[/mm]
Wir müssen jetzt versuchen, dass m zu ersetzen.
Bedenken können wir ja [mm] $m=\bruch{y_0}{x_0}$
[/mm]
und mit dem S.d.P. können wir schreiben [mm] $y_0=\wurzel{36-x_0^2}$
[/mm]
[mm] $\rightarrow m=\bruch{\wurzel{36-x_0^2}{x_0^2}}$
[/mm]
und das wiederum können wir in die Funktionsvorschrift einsetzen
[mm] $f(x)=mx=\bruch{\wurzel{36-x^2}{x^2}}x=\bruch{\wurzel{36-x^2}{x}}
[/mm]
Nun haben wir auch schon alle Informationen, die wir brauchen, wir kennen die Funktion und haben genaue Angbane über das
Integral.
[mm] $V=\pi \integral_{0}^{x_0} {f(x)^2 dx}$
[/mm]
Und nun guckst du nach Extrempunkten.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte und keinen Fehler machte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Zunächst möchte ich mich für die Bemühungen bedanken, die du für mich auchgebracht hast.
Nur was jetzt meine frage ist, woher nimmst plötzlich die 36 her?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Mi 15.12.2004 | | Autor: | Fabian |
Hallo kannnichtalles
Die 36 hat Fugre über den Pythagoras ermittelt.
Wie aus der Zeichnung hervorgeht , ist c = 6 die Hypothenuse des Dreiecks. Also folgt aus Pythagoras [mm] 6^{2}=a^{2}+b^{2}
[/mm]
Alles klar?
Gruß Fabian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Do 16.12.2004 | | Autor: | Fugre |
Hallo Kannnichtalles,
es gibt noch eine viel einfachere und schönere Lösungsmöglichkeit.
Wir betrachten diesmal einfach das Dreieck als halbierte Querschnittsfläche des Kegels.
Nun wird deutlich, dass die Höhe h des Kegels der Seite a des 3-Ecks entspricht und
die Seite b dem Radius r des Kreises entspricht.
Kurz in die Volumenformel eingesetzt:
[mm] $V=\bruch{1}{3}Ah=\bruch{1}{3} \pi r^2*h=\bruch{1}{3} \pi [/mm] * [mm] b^2 [/mm] *a$
Jetzt noch den Satz des Pythagoras: [mm] $c^2=36=a^2+b^2 \rightarrow b^2=36-a^2$
[/mm]
Das nun oben eingesetzt:
[mm] $V=\bruch{1}{3} \pi (36-a^2)*a$
[/mm]
Wie du siehst, ist dieser Weg viel einfacher und schöner 
Liebe Grüße
Fugre
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