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| Aufgabe | f: (x,y) = [mm] x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy
[/mm]
[mm] f:\IR^2->\IR
[/mm]
a) Bestimme Stellen, an denen f ein lok. Extremum hat.
b) Warum gibt es [mm] (a,b)\IR^2 [/mm] mit [mm] a^2+b^2 [/mm] = 1, so dass f(x,y) [mm] \ge [/mm] f (a,b) für alle x,y mit [mm] x^2+y^2 \ge [/mm] 1 gilt? |
Zu a) Ich bestimme die Extremstellen:
1.Abl. nach x: [mm] 4x^3-4x+4y
[/mm]
1.Abl. nach y: [mm] 4y^3-4y+4x
[/mm]
2.Abl. nach x: [mm] 12x^2-4
[/mm]
2.Abl. nach y: [mm] 12y^2-4
[/mm]
Hess: [mm] \pmat{ 12x^2-4 & 4 \\ 4 & 12y^2-4 }
[/mm]
grad f(x,y) = (0,0) genau dann, wenn [mm] 4x^3-4x+4y=0 [/mm] und [mm] 4y^3-4y+4x=0
[/mm]
Wer kann mir hier beim Auflösen helfen?
So weit komme ich:
[mm] 4x^3-4x+4y=0 [/mm] und [mm] 4y^3-4y+4x=0
[/mm]
genau dann, wenn [mm] 0=4(x^3-x+y) [/mm] = [mm] 4(y^3-y+x)
[/mm]
Würde hier auf beiden Seiten die 4 noch kürzen.
Wie kann ich dann x und y bestimmen?
zu b) Leider komme ich hier nicht wirklich weiter.
Was ist mit a und b gemeint?
DANKE für eure Hilfe!
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Hallo nochmal,
> Wer kann mir hier beim Auflösen helfen?
> So weit komme ich:
> [mm]4x^3-4x+4y=0[/mm] und [mm]4y^3-4y+4x=0[/mm]
> genau dann, wenn [mm]0=4(x^3-x+y)[/mm] = [mm]4(y^3-y+x)[/mm]
> Würde hier auf beiden Seiten die 4 noch kürzen.
> Wie kann ich dann x und y bestimmen?
Löse beide Gleichungen so auf: [mm] x-y=\cdots
[/mm]
Dann gleichsetzen. Du bekommst z.B. eine Aussage über y(x). In eine der beiden Gleichungen so einsetzen, dass sie nur noch eine Variable enthält. Ausklammern.
Du findest dann drei Paare [mm] (x_i,y_i), [/mm] so dass die Gleichungen erfüllt. Alle drei Lösungen liegen auf der gleichen Ursprungsgeraden.
lg
reverend
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> Hallo nochmal,
>
> > Wer kann mir hier beim Auflösen helfen?
> > So weit komme ich:
> > [mm]4x^3-4x+4y=0[/mm] und [mm]4y^3-4y+4x=0[/mm]
> > genau dann, wenn [mm]0=4(x^3-x+y)[/mm] = [mm]4(y^3-y+x)[/mm]
> > Würde hier auf beiden Seiten die 4 noch kürzen.
> > Wie kann ich dann x und y bestimmen?
>
> Löse beide Gleichungen so auf: [mm]x-y=\cdots[/mm]
> Dann gleichsetzen. Du bekommst z.B. eine Aussage über
> y(x). In eine der beiden Gleichungen so einsetzen, dass sie
> nur noch eine Variable enthält. Ausklammern.
>
Wie löse ich das dann? Sorry, ich sitze auf der Leitung!
[mm] x^3= [/mm] x-y? Dann setze ich das in [mm] y^3 [/mm] ein?
Drei Paare sind mir klar!
> Du findest dann drei Paare [mm](x_i,y_i),[/mm] so dass die
> Gleichungen erfüllt. Alle drei Lösungen liegen auf der
> gleichen Ursprungsgeraden.
>
> lg
> reverend
>
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I) [mm] x-y=x^3
[/mm]
II) [mm] x-y=-y^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^3=-y^3
[/mm]
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> I) [mm]x-y=x^3[/mm]
> II) [mm]x-y=-y^3[/mm]
> [mm]\Rightarrow x^3=-y^3[/mm]
Gut, jezt verstehe ich! 
Danke.
Jetzt weiß ich also, dass mein [mm] x_1= [/mm] 0 ist.
Wie bestimme ich [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3?
[/mm]
Muss ich dann diese x in meine Ausgangsfunktion einsetzen, um y zu bestimmen?
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> > I) [mm]x-y=x^3[/mm]
> > II) [mm]x-y=-y^3[/mm]
> > [mm]\Rightarrow x^3=-y^3[/mm]
>
> Gut, jezt verstehe ich!
> Danke.
> Jetzt weiß ich also, dass mein [mm]x_1=[/mm] 0 ist.
> Wie bestimme ich [mm]x_2[/mm] und [mm]x_3?[/mm]
> Muss ich dann diese x in meine Ausgangsfunktion einsetzen,
> um y zu bestimmen?
I) [mm]x-y=x^3[/mm]
II) [mm]x-y=-y^3[/mm]
[mm]\Rightarrow x^3=-y^3\ \Rightarrow y=-x[/mm]
in I) eingesetzt: [mm] x-(-x)=x^3 \gdw x^3-2x=0 \gdw x(x^2-2)=0
[/mm]
also [mm] x_1=0, y_1=0 \cdots
[/mm]
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 16.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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