Extremstellen kompakte Menge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 Sa 17.09.2011 | | Autor: | sytest |
| Aufgabe | Sei D:={(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] 4*x^2+y^2 \le [/mm] 1};
[mm] f:D\to\IR, (x,y)\mapsto2*x+y.
[/mm]
Zeigen Sie: max f(D) = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Zusatz von mir:
Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima von f auf D. |
Hallo,
ich kämpfe im Moment etwas mit dieser Aufgabe bzw. der Musterlösung, die ich zu dieser Aufgabe habe.
Zunächst weiß ich, dass die Menge D abgeschlossen und beschränkt, also kompakt ist. Mit Weierstraß folgt nun da f stetig ist: f nimmt auf D sein Maximum und Minimum an.
Ich habe nun zwei disjunkte Teilmengen von D definiert:
[mm] D_1 [/mm] := {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] 4*x^2+y^2 [/mm] < 1}
[mm] D_2 [/mm] := {(x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] 4*x^2+y^2 [/mm] = 1}
[mm] \Rightarrow [/mm] D = [mm] D_1 \cup D_2
[/mm]
[mm] D_1 [/mm] ist offen, also kann ich hier mit gradient und Hesse-Matrix arbeiten und stelle fest, dass f keine Extremstelle auf [mm] D_1 [/mm] hat.
Nun zu [mm] D_2:
[/mm]
Hier zunächst eine Frage: Ist [mm] D_2 [/mm] kompakt? Da [mm] D_2 [/mm] eine Teilmenge von D ist, sollte [mm] D_2 [/mm] ja auf jeden fall auch beschränkt sein. Außerdem vermute ich auch, dass [mm] D_2 [/mm] abgeschlossen ist - richtig?
Falls das stimmt: Nimmt dann jede stetige Funktion die auf einer kompakten Menge definiert ist auf dem Rand der Menge ein lokales Minimum/lokales Maximum an?
Dann zu den Extremstellen:
Meine Idee war es, die Gleichung [mm] 4*x^2+y^2 [/mm] = 1 nach einer Variablen umzuformen und dies dann in die Funktionsgleichung einzusetzen. Davon würde ich dann die Ableitung bestimmen und mit den alten Schulverfahren (Ableitung bestimmen, zweite Ableitung bestimmen, ..) die Extremstellen berechnen. Allerdings muss ich dann eine Funktion mit Wurzel ableiten und davon dann auch noch Nullstellen herausfinden, was in der gewünschten Zeit kaum machbar ist. (*)
Die Musterlösung macht dies so:
[mm] 4*x^2+y^2 [/mm] = 1 | [mm] \bruch{d}{dx}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 8*x+2*y*y' = 0
[mm] \gdw [/mm] y' = -4 * [mm] \bruch{x}{y}
[/mm]
Den folgenden Schritt kann ich leider nicht nachvollziehen:
[mm] \gdw [/mm] y' = -4 * [mm] \bruch{x}{y} [/mm] = -2
[mm] \Rightarrow y_0 [/mm] = [mm] 2*x_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow 4*x_0^2 [/mm] + [mm] y_0^2 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow 4*x_0^2 [/mm] + [mm] 4*x_0^2 [/mm] = 1 [mm] \gdw x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_0 [/mm] = [mm] 2*x_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] max{f(D)} = [mm] f(\bruch{1}{2*\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}}) [/mm] = [mm] \wurzel{2}
[/mm]
Die Frage ist nun: Was wird in der Musterlösung gemacht und woher kommt diese "-2".
Und wenn ich wirklich alle lokalen Maxima und Minima bestimmen möchte, geht das dann auch auf diesem Weg den die Musterlösung nutzt oder nur wie in (*) beschrieben?
Danke vorab,
sytest
Ein Nachtrag noch: Die Aufgabe soll nicht mit dem Satz von Lagrange ("Langrangesche Multiplikatorenregel") gelöst werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Sa 17.09.2011 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei D:={(x,y) [mm]\in \IR^2[/mm] | [mm]4*x^2+y^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1};
> [mm]f:D\to\IR, (x,y)\mapsto2*x+y.[/mm]
> Zeigen Sie: max f(D) =
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Zusatz von mir:
> Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima von f auf D.
>
> Hallo,
>
> ich kämpfe im Moment etwas mit dieser Aufgabe bzw. der
> Musterlösung, die ich zu dieser Aufgabe habe.
> Zunächst weiß ich, dass die Menge D abgeschlossen und
> beschränkt, also kompakt ist. Mit Weierstraß folgt nun da
> f stetig ist: f nimmt auf D sein Maximum und Minimum an.
>
> Ich habe nun zwei disjunkte Teilmengen von D definiert:
> [mm]D_1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {(x,y) [mm]\in \IR^2[/mm] | [mm]4*x^2+y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
< 1}
> [mm]D_2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {(x,y) [mm]\in \IR^2[/mm] | [mm]4*x^2+y^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= 1}
> [mm]\Rightarrow[/mm] D = [mm]D_1 \cup D_2[/mm]
>
> [mm]D_1[/mm] ist offen, also kann ich hier mit gradient und
> Hesse-Matrix arbeiten und stelle fest, dass f keine
> Extremstelle auf [mm]D_1[/mm] hat.
>
> Nun zu [mm]D_2:[/mm]
> Hier zunächst eine Frage: Ist [mm]D_2[/mm] kompakt? Da [mm]D_2[/mm] eine
> Teilmenge von D ist, sollte [mm]D_2[/mm] ja auf jeden fall auch
> beschränkt sein. Außerdem vermute ich auch, dass [mm]D_2[/mm]
> abgeschlossen ist - richtig?
> Falls das stimmt: Nimmt dann jede stetige Funktion die auf
> einer kompakten Menge definiert ist auf dem Rand der Menge
> ein lokales Minimum/lokales Maximum an?
>
> Dann zu den Extremstellen:
> Meine Idee war es, die Gleichung [mm]4*x^2+y^2[/mm] = 1 nach einer
> Variablen umzuformen und dies dann in die
> Funktionsgleichung einzusetzen. Davon würde ich dann die
> Ableitung bestimmen und mit den alten Schulverfahren
> (Ableitung bestimmen, zweite Ableitung bestimmen, ..) die
> Extremstellen berechnen. Allerdings muss ich dann eine
> Funktion mit Wurzel ableiten und davon dann auch noch
> Nullstellen herausfinden, was in der gewünschten Zeit kaum
> machbar ist. (*)
>
> Die Musterlösung macht dies so:
> [mm]4*x^2+y^2[/mm] = 1 | [mm]\bruch{d}{dx}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 8*x+2*y*y' = 0
> [mm]\gdw[/mm] y' = -4 * [mm]\bruch{x}{y}[/mm]
>
> Den folgenden Schritt kann ich leider nicht
> nachvollziehen:
> [mm]\gdw[/mm] y' = -4 * [mm]\bruch{x}{y}[/mm] = -2
Hallo,
man scheint hier davon auszugehen, dass das Verhältnis x:y den Wert 0,5 annimmt.
>
> [mm]\Rightarrow y_0[/mm] = [mm]2*x_0[/mm]
> [mm]\Rightarrow 4*x_0^2[/mm] + [mm]y_0^2[/mm] = 1 [mm]\Rightarrow 4*x_0^2[/mm] +
> [mm]4*x_0^2[/mm] = 1 [mm]\gdw x_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow y_0[/mm] = [mm]2*x_0[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] max{f(D)} =
> [mm]f(\bruch{1}{2*\wurzel{2}},\bruch{1}{\wurzel{2}})[/mm] =
> [mm]\wurzel{2}[/mm]
>
> Die Frage ist nun: Was wird in der Musterlösung gemacht
> und woher kommt diese "-2".
> Und wenn ich wirklich alle lokalen Maxima und Minima
> bestimmen möchte, geht das dann auch auf diesem Weg den
> die Musterlösung nutzt oder nur wie in (*) beschrieben?
>
> Danke vorab,
> sytest
>
> Ein Nachtrag noch: Die Aufgabe soll nicht mit dem Satz von
> Lagrange ("Langrangesche Multiplikatorenregel") gelöst
> werden.
Das ist doch gut, dann geht es elementar!
Durch z=2x+y wird eine schräg im x-y-z-Raum liegende Ebene beschrieben.
Diese Ebene wird durch ein zylinderähnliches Gebilde (um die z-Achse herum) geschnitten. Die Grundfläche ist kein Kreis; die Gleichung
[mm]4*x^2+y^2 \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
beschreibt eine Ellipse. Es ist anschaulich klar, dass der höchste bzw. tiefste Punkt der Ebene außen auf dem Rand der Schnittfläche liegen muss.
Vielleicht sollte man zu Polarkoordinaten übergehen.
Gruß Abakus
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Hallo,
> das nicht nachvollziehen
Deine Musterlösung ist sehr verwirrend. Man muss zuerst zeigen, dass man die Funktion nach einer Variablen auflösen darf. Dann kann man das so machen wie du gesagt hast und die Musterlösung macht es auch so!
Es wird $f(x,y)=2x+y $ nach $y=c-2x$ und $y'=-2$. Und das dann in die andere Bedingung einsetzen.
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Sa 17.09.2011 | | Autor: | sytest |
Danke für die Antwort.
> Hallo,
>
>
> > das nicht nachvollziehen
>
> Deine Musterlösung ist sehr verwirrend. Man muss zuerst
> zeigen, dass man die Funktion nach einer Variablen
> auflösen darf.
Wie mache ich das?
> Dann kann man das so machen wie du gesagt
> hast und die Musterlösung macht es auch so!
>
Ich habe nochmal etwas über die Musterlösung nachgedacht und habe eine mögliche Argumentation gefunden. Die Menge [mm] D_2 [/mm] ist ja der Rand einer Ellipse. Zeichnet man den gradient der Funktion f und diese Menge in ein Koordinatensystem, so sieht man, dass eine Gerade die senkrecht auf dem Gradient steht (somit die Steigung [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hat) und nur den Rand der Ellipse berührt, dies im Maximum/Minimum tut. So würde ich mir die:
[mm] \bruch{x}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
erklären.
Passt das?
> Es wird [mm]f(x,y)=2x+y[/mm] nach [mm]y=c-2x[/mm] und [mm]y'=-2[/mm]. Und das dann in
> die andere Bedingung einsetzen.
>
Das klingt zumindest mal logisch, aber:
Was berechne ich da eigentlich in diesem Schritt, also was ist dann dieses y'?
>
>
> Gruss
> kushkush
>
>
>
Außerdem möchte ich nochmal auf eine noch unbeantwortete Frage zurückkommen:
"Hier zunächst eine Frage: Ist [mm] D_2 [/mm] kompakt? Da [mm] D_2 [/mm] eine Teilmenge von D ist, sollte [mm] D_2 [/mm] ja auf jeden fall auch beschränkt sein. Außerdem vermute ich auch, dass [mm] D_2 [/mm] abgeschlossen ist - richtig?
Falls das stimmt: Nimmt dann jede stetige Funktion die auf einer kompakten Menge definiert ist auf dem Rand der Menge ein lokales Minimum/lokales Maximum an?"
Danke vorab,
sytest
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 So 18.09.2011 | | Autor: | hippias |
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> "Hier zunächst eine Frage: Ist [mm]D_2[/mm] kompakt? Da [mm]D_2[/mm] eine
> Teilmenge von D ist, sollte [mm]D_2[/mm] ja auf jeden fall auch
> beschränkt sein. Außerdem vermute ich auch, dass [mm]D_2[/mm]
> abgeschlossen ist - richtig?
Ja.
> Falls das stimmt: Nimmt dann jede stetige Funktion die auf
> einer kompakten Menge definiert ist auf dem Rand der Menge
> ein lokales Minimum/lokales Maximum an?"
>
Nein: siehe z.B. [mm] $sin:[0,2\pi]\to \IR$.
[/mm]
Hier noch eine alternative zur Bestimmung des Maximums ganz ohne Diff.-rechnung:
Da $f$ lineare Fkt. ist, hat $f$ im inneren von $D$ kein Extremum, denn ist [mm] $p\in D_{1}$, [/mm] so gibt es $r>0$ mit [mm] $B_{r}(p)\subseteq D_{1}$. [/mm] Dann gibt es auch $r'>0$ mit [mm] $p+r'(2,1)\in B_{r}(p)$ [/mm] und damit $f(p+r'(2,1))= f(p)+r'(4+1)>f(p)$.
Wir wissen nun, dass $f= 2x+y$ sein Maximum auf dem Rand [mm] $4x^{2}+y^{2}= [/mm] 1$ annimmt. Ist nun $(x,y)$ eine Extremstelle von $f$, so auch von [mm] $f^{2}= 4x^{2}+ y^{2}+ [/mm] 4xy$. Also oBdA $f= 1+ 4xy$. Weiter haben $f$ und $f-1$ die gleichen Extremstellen, sodass oBdA $f= 4xy$. Durch nochmaliges quadrieren oBdA $f= [mm] 8x^{2}y^{2}$. [/mm] Nun ist [mm] $f_{\vert{D_{2}}}= 8x^{2}(1-4x^{2})= -32(x^{4}-\bruch{1}{4}x^{2})= -32((x^{2}- \bruch{1}{8})^{2}-\bruch{1}{64})$. [/mm] Diese Funtion hat genau einen Scheitelpunkt (Maximum) bei [mm] $x^{2}= \bruch{1}{8}$. [/mm] Damit sind die moeglichen Extremstellen des urspruenglichen $f$ bei $(x,y)= [mm] (\sqrt{\bruch{1}{8}}, \sqrt{\bruch{1}{2}}), (\sqrt{\bruch{1}{8}}, -\sqrt{\bruch{1}{2}}), (-\sqrt{\bruch{1}{8}}, \sqrt{\bruch{1}{2}}), (-\sqrt{\bruch{1}{8}}, -\sqrt{\bruch{1}{2}})$. [/mm] Einsetzen liefert das Maximum an der ersten Stelle mit $f(x,y)= [mm] \sqrt{2}$.
[/mm]
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