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| Aufgabe | Wir untersuchen, ob eine auf dem Intervall I stetige Funktion [mm] f:\,I\to\mathbb{R} [/mm] im Punkt [mm] a\in [/mm] I eine Extremstelle hat.
(a liegt nicht auf dem Rand von I.) [mm] \,f [/mm] sei in [mm] I\setminus\{a\} [/mm] differenzierbar.
Entscheiden Sie anhand der vorgegebenen Eigenschaften von f, ob f in a ein lokales Minimum oder Maximum hat,
ob ein Sattelpunkt vorliegt oder ob f in a weder ein lokales Extremum noch einen Sattelpunkt hat.
Falls die Informationen über f zur eindeutigen Klassifizierung nicht ausreichen, geben Sie nicht entscheidbar an.
Fall 1) [mm] \quad [/mm] f ist nicht differenzierbar in a,
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0 [/mm] für [mm] x\,<\,a [/mm] und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,>\,0 [/mm] für [mm] x\,>\,a\,.
[/mm]
Fall 2) [mm] \quad [/mm] f ist zweimal differenzierbar in a,
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0 [/mm] und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f''(a)\,=\,0\,.
[/mm]
Fall 3) [mm] \quad [/mm] f ist zweimal differenzierbar in a,
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0 [/mm] und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f''(a)\,<\,0\,.
[/mm]
Fall 4) [mm] \quad [/mm] f ist nicht differenzierbar in a und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |f'(x)|\to \infty [/mm] für [mm] x\to a\,.
[/mm]
Fall 5) [mm] \quad [/mm] f ist nicht differenzierbar in a,
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,-1 [/mm] für [mm] x\,<\,a [/mm] und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,-0.1 [/mm] für [mm] x\,>\,a\,.
[/mm]
Fall 6) [mm] \quad [/mm] f ist differenzierbar in a,
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0,
[/mm]
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0 [/mm] für [mm] x\,<\,a [/mm] und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0 [/mm] für [mm] x\,>\,a\,.
[/mm]
Fall 7) [mm] \quad [/mm] f ist differenzierbar in a,
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0,
[/mm]
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0 [/mm] für [mm] x\,<\,a [/mm] und
[mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,>\,0 [/mm] für [mm] x\,>\,a\,.
[/mm]
Für alle Fälle bestehen folgende Möglichkeiten:
-lokales Minimum
-lokales Maximum
-Sattelpunkt
-kein Extremum, kein Sattelpunkt
-nicht entscheidbar |
Hallo.
Ich soll die oben beschriebene Aufgabe berechnen und komme nicht sehr weit.
Fall 1)
f ist nicht differenzierbar in a, jedoch in x.
Für x<a ist f'(x)<0. Für x>a ist f'(x)>0.
Bildlich vorgestellt fällt der Graph für alle x<a und steigt für alle x>a.
Dies könnte eine lokales Minimum sein.
Jedoch weiß ich nicht wie ich das nicht differenzierbare a handhaben soll.
Nicht differentierbar für eine Funktion kann heißen, dass hier ein Knick/Sprung vorhanden ist.
Damit ist nicht eindeutig entscheidbar, ob es sich um ein Extremum handelt, oder?
Fall 2) f'(a)=0 und f''(a)=0 -> Sattelpunkt
Fall 3) lokales Maximum
Fall 4) Wieder eine Funktion die nicht differentierbar in a ist. Für alle x [mm] \to [/mm] a läuft der Betrag von f'(x) gegen [mm] \infty.
[/mm]
Wenn rechtsseitige und linksseitige x gegen a laufen, so läuft der Betrag der Ableitung gegen unendlich, d.h die Funktion würde für alle x [mm] \to [/mm] a stetig steigen.
Damit hat die Funktion kein Extremum und kein Sattelpunkt, oder?
Fall 5) Wieder nicht differenzierbar in a.
Die Ableitung f'(x) ist für alle x kleiner als 0
Damit hat f(x) permanent ein negative Steigung. Also kein Extremum und kein Sattelpunkt.+
Fall 6) Differenzierbar in a.
Alle x>a birgen f'(x)<0 und alle x<a birgen f'(x)>0.
D.h das die Steigung von f'(x) bei x<a im positiven liegt und bei x>a im negativen. Dies würde auf einen fallenden Graphen von f'(x) schließen lassen .
Ich würde sagen es handelt sich um ein lokales Minima.
Fall 7)f'(a)=0 -> differenzierbar
x<a -> f'(x)<0
x>a -> f'(x)>0
Zunächst nimmt die Steigung des Graphen ab und dann wächst sie.
Ich würde vermuten, dass es sich hier um ein lokales Maximum handelt.
Ich würde mich über Hilfe, Tips etc. freuen.
Im Voraus dankend
Masseltof
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 16.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Wir untersuchen, ob eine auf dem Intervall I stetige
> Funktion [mm]f:\,I\to\mathbb{R}[/mm] im Punkt [mm]a\in[/mm] I eine
> Extremstelle hat.
>
> (a liegt nicht auf dem Rand von I.) [mm]\,f[/mm] sei in
> [mm]I\setminus\{a\}[/mm] differenzierbar.
>
> Entscheiden Sie anhand der vorgegebenen Eigenschaften von
> f, ob f in a ein lokales Minimum oder Maximum hat,
>
> ob ein Sattelpunkt vorliegt oder ob f in a weder ein
> lokales Extremum noch einen Sattelpunkt hat.
>
> Falls die Informationen über f zur eindeutigen
> Klassifizierung nicht ausreichen, geben Sie nicht
> entscheidbar an.
>
>
>
> Fall 1) [mm]\quad[/mm] f ist nicht differenzierbar in a,
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0[/mm] für [mm]x\,<\,a[/mm]
> und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,>\,0[/mm] für [mm]x\,>\,a\,.[/mm]
>
> Fall 2) [mm]\quad[/mm] f ist zweimal differenzierbar in a,
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0[/mm] und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f''(a)\,=\,0\,.[/mm]
>
> Fall 3) [mm]\quad[/mm] f ist zweimal differenzierbar in a,
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0[/mm] und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f''(a)\,<\,0\,.[/mm]
>
> Fall 4) [mm]\quad[/mm] f ist nicht differenzierbar in a und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad |f'(x)|\to \infty[/mm] für [mm]x\to a\,.[/mm]
>
> Fall 5) [mm]\quad[/mm] f ist nicht differenzierbar in a,
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,-1[/mm] für [mm]x\,<\,a[/mm]
> und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,-0.1[/mm] für
> [mm]x\,>\,a\,.[/mm]
>
> Fall 6) [mm]\quad[/mm] f ist differenzierbar in a,
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0,[/mm]
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0[/mm] für [mm]x\,<\,a[/mm]
> und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0[/mm] für [mm]x\,>\,a\,.[/mm]
>
> Fall 7) [mm]\quad[/mm] f ist differenzierbar in a,
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0,[/mm]
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0[/mm] für [mm]x\,<\,a[/mm]
> und
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,>\,0[/mm] für [mm]x\,>\,a\,.[/mm]
>
> Für alle Fälle bestehen folgende Möglichkeiten:
> -lokales Minimum
> -lokales Maximum
> -Sattelpunkt
> -kein Extremum, kein Sattelpunkt
> -nicht entscheidbar
> Hallo.
>
> Ich soll die oben beschriebene Aufgabe berechnen und komme
> nicht sehr weit.
>
> Fall 1)
> f ist nicht differenzierbar in a, jedoch in x.
> Für x<a ist f'(x)<0. Für x>a ist f'(x)>0.
>
> Bildlich vorgestellt fällt der Graph für alle x<a und
> steigt für alle x>a.
> Dies könnte eine lokales Minimum sein.
> Jedoch weiß ich nicht wie ich das nicht differenzierbare
> a handhaben soll.
> Nicht differentierbar für eine Funktion kann heißen, dass
> hier ein Knick/Sprung vorhanden ist.
> Damit ist nicht eindeutig entscheidbar, ob es sich um ein
> Extremum handelt, oder?
Hallo,
für Extremstellen ist Differenzierbarkeit und "Knickfreiheit" nicht erforderlich. Die Funktion f(x)=|x| hat z.B. an der Knickstelle x=0 ihr Minimum.
>
> Fall 2) f'(a)=0 und f''(a)=0 -> Sattelpunkt
Falsch.
Gegenbeispiel:
[mm] f(x)=x^4 [/mm] an der Stelle 0. Die ersten beiden Ableitungen sind 0, dort ist aber kein Sattelpunkt.
>
> Fall 3) lokales Maximum
>
> Fall 4) Wieder eine Funktion die nicht differentierbar in a
> ist. Für alle x [mm]\to[/mm] a läuft der Betrag von f'(x) gegen
> [mm]\infty.[/mm]
> Wenn rechtsseitige und linksseitige x gegen a laufen, so
> läuft der Betrag der Ableitung gegen unendlich, d.h die
> Funktion würde für alle x [mm]\to[/mm] a stetig steigen.
> Damit hat die Funktion kein Extremum und kein Sattelpunkt,
> oder?
Es müsste -ich weiß gar nicht, ob es eine Bezeichnung dafür gibt- ein "Wendepunkt mit senkrechter Tangente" sein. Ein Beispiel für einen solchen Verlauf wäre das zusammenstoßen der beiden Äste zweier Wurzelfunktionen wie z.B.
[mm] f(x)=\begin{cases} \wurzel{x}, & \mbox{für } x\ge 0 \\ -\wurzel{-x} , & \mbox{für }x<0 \end{cases}
[/mm]
>
> Fall 5) Wieder nicht differenzierbar in a.
> Die Ableitung f'(x) ist für alle x kleiner als 0
> Damit hat f(x) permanent ein negative Steigung. Also kein
> Extremum und kein Sattelpunkt.+
>
> Fall 6) Differenzierbar in a.
> Alle x>a birgen f'(x)<0 und alle x<a birgen f'(x)>0.
> D.h das die Steigung von f'(x) bei x<a im positiven liegt
> und bei x>a im negativen. Dies würde auf einen fallenden
> Graphen von f'(x) schließen lassen .
> Ich würde sagen es handelt sich um ein lokales Minima.
>
Kommt drauf an, welche Version der Aufgabenstellung stimmt. Oben war angeblich f'(x) auf beiden Seiten <0.
> Fall 7)f'(a)=0 -> differenzierbar
> x<a -> f'(x)<0
> x>a -> f'(x)>0
> Zunächst nimmt die Steigung des Graphen ab und dann
> wächst sie.
... wie z.B. bei [mm] f(x)=x^2...
[/mm]
> Ich würde vermuten, dass es sich hier um ein lokales
> Maximum handelt.
Nein, ein Minimum.
Gruß Abakus
>
> Ich würde mich über Hilfe, Tips etc. freuen.
>
> Im Voraus dankend
> Masseltof
>
> Viele Grüße
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Hallo abakus und danke für die Hilfe.
Zunächst entschuldigt bitte den Fehler bei Fall 6.
Leider habe ich mich verlesen.
Fall 1:
Danke für den Hinweis mit der Differenzierbarkeit. Ich war mir hier nicht sicher.
Die Funktion kann hier also bspw. ein lokales Minimum haben. Dies heißt doch dann auch, dass es möglicherweise eine Funktion gibt, die die gleichen Bedingungen aus Fall 1 erfüllt und möglicherweise einen Sattelpunkt/Wendepunkt hat.
Also reichen die Infos aus Fall 1 nicht für eine genaue Antwort aus.
-> nicht entscheidbar wäre meine Vermutung.
Fall 2:
-> nicht entscheidbar, da hier Informationen zum Verhalten von f'(x) für x>a und x<a fehlen, oder?
Fall 3:lokales Maximum
Fall 4:
Wie bist du hier auf diese Vorstellung/Idee gekommen?
|f'(x)|=|b| -> d.h -b für alle b<0 und +b für alle b>0
D.h jegliches x , dass in der Umgebung von a liegt hat eine sehr große Steigung [mm] (\infty). [/mm] Da die Steigung gegen unendlich geht, nimmst du an, dass diese Steigung quasi senkrecht (paralell zur y-Achse) verläuft.
Aber woher weißt du, wie sich die x außerhalb der Umgebung von a verhalten?
Es könnte ja sein, dass alle [mm] xx_{k} \to [/mm] 1 laufen.
Oder eben, dass [mm] x>x_{k} [/mm] folgende Bedingung erfüllen.
[mm] |f_{x}|>|f_{x_{k}}|
[/mm]
Oder nimmst du einfach an, dass
[mm] f'(x\toa) \to \infty [/mm] Voraussetzung dafür ist, dass alle x [mm] \not \to [/mm] a </infty sind?
Fall 6: So wie in der Aufgabenstellung:
$ [mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0, [/mm] $
$ [mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0 [/mm] $ für $ [mm] x\,<\,a [/mm] $
und
$ [mm] \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0 [/mm] $ für $ [mm] x\,>\,a\,. [/mm] $
Eine Funktion deren Steigung negativ ist, dann zur 0 läuft und dann wieder negativ wird.
Das müsste ein Sattelpunkt sein, oder?
Ich würde mich über Hilfe freuen.
Viele Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 17.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus und danke für die Hilfe.
>
> Zunächst entschuldigt bitte den Fehler bei Fall 6.
> Leider habe ich mich verlesen.
>
>
>
> Fall 1:
> Danke für den Hinweis mit der Differenzierbarkeit. Ich
> war mir hier nicht sicher.
> Die Funktion kann hier also bspw. ein lokales Minimum
> haben. Dies heißt doch dann auch, dass es möglicherweise
> eine Funktion gibt, die die gleichen Bedingungen aus Fall 1
> erfüllt und möglicherweise einen Sattelpunkt/Wendepunkt
> hat.
> Also reichen die Infos aus Fall 1 nicht für eine genaue
> Antwort aus.
>
> -> nicht entscheidbar wäre meine Vermutung.
>
> Fall 2:
> -> nicht entscheidbar, da hier Informationen zum Verhalten
> von f'(x) für x>a und x<a fehlen, oder?
>
> Fall 3:lokales Maximum
>
> Fall 4:
>
> Wie bist du hier auf diese Vorstellung/Idee gekommen?
>
> |f'(x)|=|b| -> d.h -b für alle b<0 und +b für alle b>0
>
> D.h jegliches x , dass in der Umgebung von a liegt hat eine
> sehr große Steigung [mm](\infty).[/mm] Da die Steigung gegen
> unendlich geht, nimmst du an, dass diese Steigung quasi
> senkrecht (paralell zur y-Achse) verläuft.
> Aber woher weißt du, wie sich die x außerhalb der
> Umgebung von a verhalten?
>
> Es könnte ja sein, dass alle [mm]x
> [mm]x>x_{k} \to[/mm] 1 laufen.
> Oder eben, dass [mm]x>x_{k}[/mm] folgende Bedingung erfüllen.
> [mm]|f_{x}|>|f_{x_{k}}|[/mm]
Natürlich kann man mein Beispiel beliebig nach oben oder unten verschieben.
>
> Oder nimmst du einfach an, dass
> [mm]f'(x\toa) \to \infty[/mm] Voraussetzung dafür ist, dass alle x
> [mm]\not \to[/mm] a </infty sind?
>
> Fall 6: So wie in der Aufgabenstellung:
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(a)\,=\,0,[/mm]
>
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0[/mm] für [mm]x\,<\,a[/mm]
> und
> [mm]\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad f'(x)\,<\,0[/mm] für [mm]x\,>\,a\,.[/mm]
>
> Eine Funktion deren Steigung negativ ist, dann zur 0 läuft
> und dann wieder negativ wird.
> Das müsste ein Sattelpunkt sein, oder?
Ja. Und aus eben diesem Grund ist deine Annahme, dass auch Fall 1 statt eines Extrempunktes auch ein Wendepunkt sein könne, nicht zu halten.
>
> Ich würde mich über Hilfe freuen.
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
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