Extremstellen, Extrempunkte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Fr 17.03.2006 | | Autor: | hexe0799 |
Hallo,
ich muss in ca 2 Wochen eine GFS über Extremstellen und Extrempunkte halten und benötige dringend Hilfe.Das Problem ist das nach mir jemand hinreichende und notwendige Bedingungen für Extremstellen auch als GFS hält und ich daher die Aufgaben nicht mit der Ableitung der Funktion lösen darf sondern eine einfachere Version ohne Ableitungen machen muss.Ich weiß nicht wie man Extremstellen anders berechnen soll.Hier mal ein Aufgabenbeispiel aus meinem Buch:
Erstellen Sie ein Schaubild von f.Weisen Sie vorhandene Extremwert nach.
f (x)= 3- x²
Lösung aus dem Lösungsheft:
Aus dem Schaubild ist abzulesen, dass f an der Stelle o ein lokales Maximum besutzt.Nachweis: Ansatz f(x) < oder = f(0) ergibt 3-x² < oder = 3 bzw. -x² < oder = 0.
Da diese Ungleichung für alle x aus [mm] \IR [/mm] erfüllt ist, liegt nach Definiton ein lokales Maximum vor.
Woher weiß ich das diese Ungleichung erfüllt ist?Ich versteh nicht , dass f(x) kleiner oder gleich Null ist, es kann doch in dieser Fnktion auch größer sein??!!
Freue mich über jede Antwort, da ich die GFS so schnell wie möglich vorbereiten sollte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Servus!
> ich muss in ca 2 Wochen eine GFS über Extremstellen und
> Extrempunkte halten und benötige dringend Hilfe.Das Problem
> ist das nach mir jemand hinreichende und notwendige
> Bedingungen für Extremstellen auch als GFS hält und ich
> daher die Aufgaben nicht mit der Ableitung der Funktion
> lösen darf sondern eine einfachere Version ohne Ableitungen
> machen muss.Ich weiß nicht wie man Extremstellen anders
> berechnen soll.Hier mal ein Aufgabenbeispiel aus meinem
> Buch:
>
> Erstellen Sie ein Schaubild von f.Weisen Sie vorhandene
> Extremwert nach.
>
> f (x)= 3- x²
Gehts es in deiner GFS nur um Parabeln? Und was ist das denn für eine Alternative ohne Ableitungen? Bei Parabeln kommt man ja auch wunderbar mit der Scheitelpunktsform aus, um die Extremstelle zu berechnen. Daher frage ich.
> Lösung aus dem Lösungsheft:
> Aus dem Schaubild ist abzulesen, dass f an der Stelle o
> ein lokales Maximum besutzt.Nachweis: Ansatz f(x) < oder =
> f(0) ergibt 3-x² < oder = 3 bzw. -x² < oder = 0.
> Da diese Ungleichung für alle x aus [mm]\IR[/mm] erfüllt ist, liegt
> nach Definiton ein lokales Maximum vor.
>
> Woher weiß ich das diese Ungleichung erfüllt ist?Ich
> versteh nicht , dass f(x) kleiner oder gleich Null ist, es
> kann doch in dieser Fnktion auch größer sein??!!
Betrachten wir mal folgende Aussage: "3-x² < oder = 3" Das [mm] x^2 [/mm] sagt dir schon einmal, dass eine Parabel vorliegt. Der negative Vorfaktor (das minus) sagt dir, dass diese Parabel nach unten geöffnet ist, also werden die Funktionswerte alle kleiner (vom Scheitelpunkt/Extrema aus betrachtet). In diesem Fall haben wir den Y-Achsenschnittpunkt bei 3 und glücklicherweise liegt dort auch das Extrema. Das heißt, dass die Funktion niemals einen größeren Y-Wert als +3 annimmt, da die Parabel nach unten hin geöffnet ist, die Funktion nicht nach links oder rechts verschoben ist.
Das selbe besagt auch "-x² < oder = 0". Die Normalparabel ist nach unten geöffnet, liegt genau im Urpsrung (0|0), wie sollen nun größere Y-Werte als
null herauskommen? Das geht nicht!
Ich würde dir vorschlagen, dass du das dir mal kurz aufzeichnest.
Und auf Grund dieser Überlegung, dass der Y-Achsenabschnitt der höchste Punkt der Funktion/der Parabel ist, muss auch dort der Scheitelpunkt/ das Extremum/ der Hochpunkt liegen.
Anders verhält sich das bei:
g(x) = [mm] x^2 [/mm] - 6x + 11
was das selbe ist wie
g(x) = (x - [mm] 3)^2 [/mm] + 2 Dieses ist die sogenannte Scheitelpunktsform
Man erkennt hier, dass die Funktion nach rechts verschoben ist, der niedrigste Y-Wert ist nun leider nicht mehr der Y-Achsenabschnitt, daher wird es komplizierter.
So viel ich auch schreiben könnte, du solltest m. E. deine Frage noch einmal konkretisieren, falls sie nicht ausreichend beantwortet wurde.
> Freue mich über jede Antwort, da ich die GFS so schnell wie
> möglich vorbereiten sollte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Liebe Grüße
Disap
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