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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Mo 01.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Funktion z = f(x,y) = [mm] (x+2)^2 +(y-1)^2 [/mm] auf Extrema. |
Hey,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe die Ableitungen gebildet: f'x(x,y)= 2x+4 und f'y(x,y)= 2y-2 habe diese gleich Nullgesetz ( dies entspricht ja der notwendigen Bedingung) und habe somit für x=-2 und y = -1 erhalten.
Daher müsste ich nun die Stellen (-2;-1) und (-1;-2) untersuchen.
erste Frage ist das soweit richtig?
Um nun zu überprüfen ob es sich um eine Extremstelle handelt oder um einen Sattelpunkt würde ich die zweite Ableitung untersuchen aber diese lauten:
fxx(x,y)=2 ; fyy(x,y)=2 fxy(x,y)= 0 und fyx(x,y)=0
da kann ich ja nichts mehr einsetzen??
Wie kann ich in diesem Fall überprüfen um welche Art von Extremstelle es sich handelt?
Wie finde ich die dritte Koordinate des Extrempunkts heraus, hier muss es ja auch sowas wie eine "Y-Koordinate", wie im zweidimensionalen Raum geben.
Viele Grüße
Marcel
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> Untersuchen Sie die Funktion z = f(x,y) = [mm](x+2)^2 +(y-1)^2[/mm]
> auf Extrema.
> Hey,
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Hallo Marcel
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe die Ableitungen gebildet: f'x(x,y)= 2x+4 und
> f'y(x,y)= 2y-2 habe diese gleich Nullgesetz ( dies
> entspricht ja der notwendigen Bedingung) und habe somit
> für x=-2 und y = -1 erhalten.
Die notwendige Bedingung für Extrema im Mehrdimensionalen ist
[mm] \nabla f(x_{0}) [/mm] = 0.
[mm] \nabla [/mm] f(x) = [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y) \\ \bruch{\partial f}{\partial y}(x,y)} [/mm] = [mm] \vektor{2x + 4 \\ 2y - 2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Der kritische Punkt, der dies löst ist [mm] \vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
>
> Daher müsste ich nun die Stellen (-2;-1) und (-1;-2)
> untersuchen.
>
> erste Frage ist das soweit richtig?
>
> Um nun zu überprüfen ob es sich um eine Extremstelle
> handelt oder um einen Sattelpunkt würde ich die zweite
> Ableitung untersuchen aber diese lauten:
> fxx(x,y)=2 ; fyy(x,y)=2 fxy(x,y)= 0 und fyx(x,y)=0
Du bildest die Hesse Matrix
[mm] H_{f}(x,y) [/mm] = [mm] \pmat{ \bruch{\partial f^{2}}{\partial x \partial x}(x,y) & \bruch{\partial f^{2}}{\partial x \partial y}(x,y) \\ \bruch{\partial f^{2}}{\partial y \partial x}(x,y) & \bruch{\partial f^{2}}{\partial y \partial y}(x,y) } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Nun überlege dir, wie man entscheidet, ob ein Maximum/Minimum/Sattelpunkt vorliegt.
Stichwort: Definitheit deiner Hesse-Matrix.
>
> da kann ich ja nichts mehr einsetzen??
>
> Wie kann ich in diesem Fall überprüfen um welche Art von
> Extremstelle es sich handelt?
>
> Wie finde ich die dritte Koordinate des Extrempunkts
> heraus, hier muss es ja auch sowas wie eine "Y-Koordinate",
> wie im zweidimensionalen Raum geben.
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
Gruß
Palindrom
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 02.07.2013 | | Autor: | Marcel88 |
hey,
kann ich jetzt nicht die Determinante der Matrix berechnen und schauen ob diese größer Null für ein lokales Minimum, kleiner Null für ein lokales Maximum ist ?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 Di 02.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> hey,
>
> kann ich jetzt nicht die Determinante der Matrix berechnen
> und schauen ob diese größer Null für ein lokales
> Minimum, kleiner Null für ein lokales Maximum ist ?
Für die ![[]](/images/popup.gif) Definitheit von Matrizen ist die Determinante irrelevant.
>
> Viele Grüße
>
> Marcel
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> > hey,
> >
> > kann ich jetzt nicht die Determinante der Matrix
> berechnen
> > und schauen ob diese größer Null für ein lokales
> > Minimum, kleiner Null für ein lokales Maximum ist ?
>
>
> Für die
> Definitheit von Matrizen
> ist die Determinante irrelevant.
Hallo Marius,
das stimmt aber nicht !
Ist A= [mm] \pmat{ a & b \\ b & c } [/mm] eine symmetrische Matrix, so gilt:
A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] a>0 und det(A)>0
A ist negativ definit [mm] \gdw [/mm] a<0 und det(A)>0
A ist indefinit [mm] \gdw [/mm] det(A)<0
Gruß FRED
P.S.: die ganze Mühe mit der Hesse-Matrix kann man sich in obigem Beispiel sparen:
Es ist f(-2,1)=0 und f(x,y) = $ [mm] (x+2)^2 +(y-1)^2 \ge [/mm] 0 $ für alle (x,y).
Damit hat f in (-2,1) ein globales Minimum.
>
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Marcel
>
> Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:32 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die Funktion z = f(x,y) = [mm](x+2)^2 +(y-1)^2[/mm]
> auf Extrema.
> Hey,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich habe die Ableitungen gebildet: f'x(x,y)= 2x+4 und
> f'y(x,y)= 2y-2 habe diese gleich Nullgesetz ( dies
> entspricht ja der notwendigen Bedingung) und habe somit
> für x=-2
Ja
> und y = -1 erhalten.
nein. Sondern y=1
>
> Daher müsste ich nun die Stellen (-2;-1) und (-1;-2)
> untersuchen.
nein. Du musst nur (-2;1) untersuchen
>
> erste Frage ist das soweit richtig?
s.o.
>
> Um nun zu überprüfen ob es sich um eine Extremstelle
> handelt oder um einen Sattelpunkt würde ich die zweite
> Ableitung untersuchen aber diese lauten:
> fxx(x,y)=2 ; fyy(x,y)=2 fxy(x,y)= 0 und fyx(x,y)=0
>
> da kann ich ja nichts mehr einsetzen??
Hast Du noch nie was von konstanten Funktionen gehört ?
>
> Wie kann ich in diesem Fall überprüfen um welche Art von
> Extremstelle es sich handelt?
Mann, mann. Die Hesse-Matrix von f im Punkt (-2,1) ist also
[mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 2 }
[/mm]
Diese Matrix ist positiv definit, also hat f in (-2,1) ein lokales Minimum.
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> Wie finde ich die dritte Koordinate des Extrempunkts
> heraus, hier muss es ja auch sowas wie eine "Y-Koordinate",
> wie im zweidimensionalen Raum geben.
f(-2,1)=0.
Aaaaaber: die Ganze Mühe mit der Hesse-Matrix kann man sich sparen:
Es ist f(-2,1)=0 und f(x,y) = $ [mm] (x+2)^2 +(y-1)^2 \ge [/mm] 0 $ für alle (x,y).
Damit hat f in (-2,1) ein globales Minimum.
FRED
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> Viele Grüße
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> Marcel
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