Extremstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:34 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
gibt es eigentlich einen Satz der Form
[mm]x_0[/mm] ist Extremstelle von [mm]f[/mm] [mm]\gdw f'(x_0)=0[/mm] [mm]\wedge[/mm] ([mm]f'[/mm] hat an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen Vorzeichenwechsel [mm]\vee[/mm] [mm]f''(x_0)\not=0[/mm]).
oder eine andere gdw-Aussage?
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo Fry,
solche Sätze gibt es zuhauf und man findet sie in den meisten Lehrbüchern zur Algebra. Ein Griff in mein Bücherregal brachte den Luh "Mathematik für Naturwissenschaftler I" von 1978 zutage und dort findet man den folgenden Satz, den ich hier wörtlich zitiere:
Die Funktion f sei in (a,b) differenzierbar. An der Stelle [mm] \zeta \in (a,b) [/mm] gelte [mm] f^{'}(\zeta) = 0[/mm].
1.) Hat f' an [mm] \zeta [/mm] einen Vorzeichenwechsel, so hat f an [mm] \zeta [/mm] ein Extremum. Es handelt sich um ein
lokales Maximum, wenn f'(x) von + nach - wechselt,
lokales Minimum, wenn f'(x) von - nach + wechselt.
2) Hat f' an [mm] \zeta [/mm] keinen Vorzeichenwechsel, so hat f an [mm] \zeta [/mm] kein Extremum.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
da muss man erst mal drauf kommen - diesen Satz in einem Algebra-Buch zu suchen.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Hey Infinit,
vielen Dank, bin jetzt gerade etwas erstaunt. Ist dann nicht auch der Vorzeichenwechsel
eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle?
LG
Fry
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Hallo,
> Hey Infinit,
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> vielen Dank, bin jetzt gerade etwas erstaunt. Ist dann
> nicht auch der Vorzeichenwechsel
> eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle?
Nein, das ist in dem Fall hinreichend (was dann 'notwendig' durchaus mit einschließen kann). Mach dir mal klar, dass so ein Vorzeichenwechsel für den Fall, dass f diffbar ist, hier keineswegs vom Himmel fällt, sondern was passiert hier 'zwischen' dem Vorzeichenwechsel?
Gruß, Diophant
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Hallo Fry,
> vielen Dank, bin jetzt gerade etwas erstaunt. Ist dann
> nicht auch der Vorzeichenwechsel
> eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle?
Allerdings. Liegt kein Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ bei [mm] x=\xi [/mm] vor, so handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Du kannst ja mal zeigen, dass damit auch klar ist, dass [mm] f''(\xi)=0 [/mm] ist. 
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Korrektur!
ich wundere mich über den Satz, weil es pathologische Funktionen wie
$ [mm] f(x)=(2+sin(\frac{1}{x}))\cdot x^2 [/mm] $ für $ [mm] x\not=0 [/mm] $ und 0 für $ x=0 $
gibt, die eine Extremstelle $ [mm] x_0 [/mm] $ besitzen, die Funktion aber um die Extremstelle
wild hin und her oszilliert (also die erste Ableitung in jeder noch
so kleinen Umgebung um $ [mm] x_0 [/mm] $ unendlich oft das Vorzeichen wechselt).
(f ist überall diffbar).
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Sa 25.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Korrektur!
>
> ich wundere mich über den Satz, weil es pathologische
> Funktionen wie
> [mm]f(x)=(2+sin(\frac{1}{x}))\cdot x^2[/mm] für [mm]x\not=0[/mm] und 0 für
> [mm]x=0[/mm]
> gibt, die eine Extremstelle [mm]x_0[/mm] besitzen, die Funktion
> aber um die Extremstelle
> wild hin und her oszilliert (also die erste Ableitung in
> jeder noch
> so kleinen Umgebung um [mm]x_0[/mm] unendlich oft das Vorzeichen
> wechselt).
> (f ist überall diffbar).
>
> LG
> Fry
Hallo Fry,
wenn 0 eine Extremstelle sein sollte - handelt es sich hier eigentlich um eine Minimum- oder eine Maximumstelle?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Sa 25.01.2014 | | Autor: | Fry |
Hey abakus,
also f hat an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] ein lokales Minimum, da $f(0)=0$ und $f(x)>0$ für [mm] $x\not=0$.
[/mm]
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