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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 So 21.03.2010 | | Autor: | DarkJiN |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm] x^4-2ax^3+6x^2-5
[/mm]
b) Für welche Werte von a hat die Funktionf genau einen Extrempunkt [drei Extrempunkte] Warum kann für keinen Wert von a die Funktionf genau zwei Extrempunkte haben? |
Wie genau lös ich sowas..?
ich hab mal einen Lösungsansatz.
f´(x)= [mm] 4x^3-6ax^2+12x
[/mm]
eine Nullstelle ist 0 weil wir ja keine konstante hinten haben.
Könnte jetzt ausklammern oder einfach durch x mit Polynomdivision teilen.
Bei der Polynomdivision kommt
[mm] 4x^2-6ax+12 [/mm]
raus.
das setz ich gleich 0 und dividiere durch 4 um das in die pq-Formel einsetzen zu können.
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{1,5a}{2} [/mm] +/- [mm] \wurzel{(-\bruch{1,5a}{2})^2-3}
[/mm]
D= [mm] (-0.75a)^2-3
[/mm]
D= 0,5625a-3 > 0
aber wie komm ich auf den genauen Wert von a?
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> Gegeben ist die Funktion f(x) = [mm]x^4-2ax^3+6x^2-5[/mm]
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> b) Für welche Werte von a hat die Funktionf genau einen
> Extrempunkt [drei Extrempunkte] Warum kann für keinen Wert
> von a die Funktionf genau zwei Extrempunkte haben?
> Wie genau lös ich sowas..?
> ich hab mal einen Lösungsansatz.
>
> f´(x)= [mm]4x^3-6ax^2+12x[/mm]
>
> eine Nullstelle ist 0 weil wir ja keine konstante hinten
> haben.
> Könnte jetzt ausklammern oder einfach durch x mit
> Polynomdivision teilen.
> Bei der Polynomdivision kommt
>
> [mm]4x^2-6ax+12[/mm]
> raus.
>
> das setz ich gleich 0 und dividiere durch 4 um das in die
> pq-Formel einsetzen zu können.
>
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> [mm]x_{1/2}[/mm] = [mm]\bruch{1,5a}{2}[/mm] +/-
> [mm]\wurzel{(-\bruch{1,5a}{2})^2-3}[/mm]
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>
> D= [mm](-0.75a)^2-3[/mm]
> D= 0,5625a-3 > 0
>
>
> aber wie komm ich auf den genauen Wert von a?
Hallo,
der "genaue Wert" kann auch darin bestehen, daß Du sagst: für -123<x<456 gilt diesunddas.
A.
Für [mm] -\bruch{1,5a}{2})^2-3<0 [/mm] (also für a> ... ) gibt es neben x=0 keine Stelle, an der die Funktion eine waagerechte Tangente hat.
Untersuche also die Stelle x=0 für diesen Fall darauf, ob es eine Extremstelle ist.
B.
Für [mm] -\bruch{1,5a}{2})^2-3=0 [/mm] (also für a= ... ) gibt es neben x=0 eine Stelle, an der die Funktion eine waagerechte Tangente hat.
Untersuche nun die fraglichen Stellen darauf, ob es Extremstellen sind.
C.
Für [mm] -\bruch{1,5a}{2})^2-3>0 [/mm] (also für a> ... ) gibt es neben x=0 zwei Stellen, an der die Funktion eine waagerechte Tangente hat.
Untersuche, ob es sich um Extremstellen handelt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 So 21.03.2010 | | Autor: | DarkJiN |
und wie untersuch ich die Stelle x=0?
ich meine das a fehlt doch.
x=0 ist aufjedenfall eine Nullstelle von f'(x), soviel ist klar.
Also ist x=0 eine mögliche Extremstelle von f.
kannst du mir A vllt vorrechnen?
> A.
> Für [mm]-\bruch{1,5a}{2})^2-3<0[/mm] (also für a> ... ) gibt es
> neben x=0 keine Stelle, an der die Funktion eine
> waagerechte Tangente hat.
> Untersuche also die Stelle x=0 für diesen Fall darauf, ob
> es eine Extremstelle ist.
>
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Hallo,
[mm] f(x)=x^{4}-2*a*x^{3}+6*x^{2}-5
[/mm]
[mm] f'(x)=4*x^{3}-6*a*x^{2}+12*x
[/mm]
[mm] f'(x)=x*(4*x^{2}-6*a*x+12)
[/mm]
[mm] x_1=0 [/mm] ist eine Extremstelle
du untersuchst [mm] x_2_3=0,75*a\pm\wurzel{0,5625*a^{2}-3}, [/mm]
für [mm] 0,5625*a^{2}-3<0 [/mm] kannst du keine relle Wurzel ziehen,
für [mm] a^{2}<\bruch{16}{3} [/mm] gibt es also nur eine Extremstelle,
für [mm] a^{2}>\bruch{16}{3} [/mm] gibt es drei Extremstellen
für [mm] a^{2}=\bruch{16}{3} [/mm] gibt es auch nur eine Extremstelle, untersuche deine Funktion mal für diesen Fall, Stichwort Sattelpunkt
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 So 21.03.2010 | | Autor: | DarkJiN |
wie kommst du auf [mm] \bruch{16}{3}= a^2 [/mm] ?
woher kommen die [mm] \bruch{16}{3}[/mm]
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Hallo,
unter der Wurzel steht
[mm] (0,75*a)^{2}-3
[/mm]
[mm] (\bruch{3}{4}*a)^{2}-3
[/mm]
[mm] \bruch{9}{16}a^{2}-3
[/mm]
jetzt der Fall gleich Null
[mm] \bruch{9}{16}a^{2}-3=0
[/mm]
[mm] \bruch{9}{16}a^{2}=3
[/mm]
[mm] a^{2}=\bruch{48}{9}=\bruch{16}{3}
[/mm]
Steffi
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