Extrempunkte mit Hesse-Matrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 08.06.2008 | | Autor: | summer00 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
[mm] f:\IR^{2}\to\IR
[/mm]
f(x,y) := [mm] (4x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-4y{^2}} [/mm] |
Wir haben uns das jetzt so gedacht:
1: den Gradient bestimmen
2. die Hesse-Matrix berechnen
3. daraus die Determinate bilden
4. die punkte suchen für die der Gradient gleich 0 wird, das sind dann mögliche Extrempunkte und die dann in die Determinante einsetzen und so je nach Wert auf Maximum oder Minimum untersuchen.
Da wir ja aber beim Gradient einmal die Ableitung nach x und einmal nach y haben wissen wir nicht so genau was wir da jetzt gleich Null setzen sollen...wie genau funktioniert das denn bei mehreren Variablen?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo summer00,
> Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion
> [mm]f:\IR^{2}\to\IR[/mm]
> f(x,y) := [mm](4x^{2}+y^{2})e^{-x^{2}-4y{^2}}[/mm]
> Wir haben uns das jetzt so gedacht:
> 1: den Gradient bestimmen
> 2. die Hesse-Matrix berechnen
> 3. daraus die Determinate bilden
> 4. die punkte suchen für die der Gradient gleich 0 wird,
> das sind dann mögliche Extrempunkte und die dann in die
> Determinante einsetzen und so je nach Wert auf Maximum oder
> Minimum untersuchen.
> Da wir ja aber beim Gradient einmal die Ableitung nach x
> und einmal nach y haben wissen wir nicht so genau was wir
> da jetzt gleich Null setzen sollen...wie genau funktioniert
> das denn bei mehreren Variablen?
Das ist dann ein Gleichungssystem in x und y:
[mm]\bruch{\partial f\left(x,y\right)}{\partial x}=0[/mm]
[mm]\bruch{\partial f\left(x,y\right)}{\partial y}=0[/mm]
Bestimme dann die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems.
Für mögliche Extrempunkte muß ja der Gradient verschwinden.
> Vielen Dank im Voraus!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 08.06.2008 | | Autor: | summer00 |
Nach x abgeleitet bekomme ich raus [mm] :8xe^{-x^{2}-4y^{2}}+(4x^{2}+y^{2})(-2x)e^{-x^{2}-4y^{2}}
[/mm]
nach y: [mm] 2ye^{-x^{2}-4y^{2}}+(4x^{2}+y^{2})(-8y)e^{-x^{2}-4y^{2}}
[/mm]
mir ist unklar, wie ich jetzt die Gleichungen lösen soll?
wenn ich die verkürze und gleich setze und durch e mache bekomme ich:
[mm] 8x-8x^{3}-2xy^{2}=2y-32yx^{2}-8y^{3}
[/mm]
wie gehts dei
nn weiter?
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Hallo summer00,
> Nach x abgeleitet bekomme ich raus
> [mm]:8xe^{-x^{2}-4y^{2}}+(4x^{2}+y^{2})(-2x)e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm]
> nach y:
> [mm]2ye^{-x^{2}-4y^{2}}+(4x^{2}+y^{2})(-8y)e^{-x^{2}-4y^{2}}[/mm]
>
> mir ist unklar, wie ich jetzt die Gleichungen lösen soll?
> wenn ich die verkürze und gleich setze und durch e mache
> bekomme ich:
> [mm]8x-8x^{3}-2xy^{2}=2y-32yx^{2}-8y^{3}[/mm]
> wie gehts dei
> nn weiter?
>
Du mußt schon die 2 Gleichungen einzeln lösen:
[mm]8x-8x^{3}-2xy^{2}=0 \Rightarrow \dots[/mm]
[mm]2y-32yx^2-8y^3=0 \Rightarrow \dots [/mm]
Die Lösungen mußt Du dann irgendwie mitenander verknüpfen, d. h.
aus ersterer Gleichung folgt z.B. [mm]x=c_{1}[/mm]. Dies setzt Du nun
in die zweite Gleiichung ein und erhältst die entsprechenden y-Werte.
Das geht natürlich auch mit der zweiten Gleichung.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mo 09.06.2008 | | Autor: | summer00 |
das versuchen wir, aber irgendwie kriegen wir immer nicht gültige sachen raus wie 1=1.
[mm] 8x=-(4x^{2}+y^{2})(-2)x=0 [/mm] // [mm] \vdots [/mm] 2x
[mm] 4=-(4x^{2}+y^{2})(-1)=0
[/mm]
[mm] 4=4x^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] 4=4x^{2}+y^{2}
[/mm]
[mm] 4-4x^{2}=y^{2}
[/mm]
[mm] 2y=-(4x^{2}+y^{2})(-8y) [/mm] // geteilt durch 2y
[mm] 1=(4x^{2}+y^{2})(-4)
[/mm]
[mm] 1=16x^{2}+4y^{2}
[/mm]
dann setzen [mm] 4-4x^{2} [/mm] für [mm] y^{2} [/mm] unten ein und bekommen
[mm] 1=16x^{2}+4(4-4x^{2})
[/mm]
[mm] 1=16x^{2}+16-16x^{2}
[/mm]
1=16
Was machen wir denn da falsch????
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Hallo summer,
eure partiellen Ableitungen stimmen schonmal!
Nun möglichst nichts irgendwie ausmultiplizieren, sondern im Gegenteil:
Versucht mal, die partiellen Ableitungen weitgehend zu faktorisieren, dann könnt ihr den Satz vom Nullprodukt anwenden
Anderenfalls rechnet ihr euch nen Wolf oder schlimmer: fest 
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=8xe^{-x^{2}-4y^{2}}+(4x^{2}+y^{2})(-2x)e^{-x^{2}-4y^{2}}=-2xe^{-x^2-4y^2}\cdot{}\left[4x^2+y^2-4\right]$
[/mm]
und [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2ye^{-x^{2}-4y^{2}}+(4x^{2}+y^{2})(-8y)e^{-x^{2}-4y^{2}}=-2ye^{-x^2-4y^2}\cdot{}\left[16x^2+4y^2-1\right]$
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist, also
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=0\gdw x=0\vee 4x^2+y^2-4=0$ [/mm] und
[mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0\gdw y=0\vee 16x^2+4y^2-1=0$
[/mm]
Mit den beiden NSTen x=0, y=0 könnt ihr mal jeweils in die andere Gleichung gehen, dann bekommt ihr schon mal 4 bzw. 5 Lösungen, also 4 bzw. 5 stationäre Punkte, fast geschenkt (die 5te ist trivialerweise $(x,y)=(0,0)$ )
Etwas schlimmer ist der jeweils zweite Klammerausdruck:
Bei [mm] $\partial [/mm] x$ könnt ihr mal nach y auflösen (es gibt 2 Lösungen) und in die Gleichung für [mm] $\partial [/mm] y$ einsetzen, das liefert keine Lösung
Ebenso bei [mm] $\partial [/mm] y$: löst das nach y auf (wieder 2 Lösungen) und reinstopfen in die Gleichung für [mm] $\partial [/mm] x$, das liefert auch nix
Also bleibt's bei den aus den jeweils ersten Faktoren bestimmten 4 stationären Punkten und natürlich dem stationären Punkt $(0,0)$
LG
schachuzipus
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