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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 So 05.05.2013 | | Autor: | ebarni |
Moin, moin! :)
Ich hätte hier folgende Aufgabe:
"Ein Tunnel von 12 m Länge besitzt einen halbkreisförmigen Querschnitt von 8 m Durchmesser. Durch den Einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen Wand aus Stahlblech (Wandstärke vernachlässigbar) soll ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal wird?"
So, dann habe ich die Hauptbedingung:
[mm] A_{max}= [/mm] h*b
Aber bei der Nebenbedingung hängt es:(
Ich hätte den Vorschlag: 8m=b-(2*x)
wobei x der Raum zwischen dieser Wand aus Stahlblech und dem Ende des Tunnels ist...
Desweiteren weiß man noch, dass der Radius 4 m besitzt.
Wäre toll, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
(Hier ist die Skizze zu der Aufgabe)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 So 05.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Moin, moin! :)
Moin.
> Ich hätte hier folgende Aufgabe:
> "Ein Tunnel von 12 m Länge besitzt einen
> halbkreisförmigen Querschnitt von 8 m Durchmesser. Durch
> den Einbau zweier vertikaler Wände und einer horizontalen
> Wand aus Stahlblech (Wandstärke vernachlässigbar) soll
> ein Durchgang mit rechteckigem Querschnitt geschaffen
> werden. Welche Höhe h und welche Breite b muss der
> Durchgang erhalten, damit seine Querschnittsfläche maximal
> wird?"
>
> So, dann habe ich die Hauptbedingung:
> [mm]A_{max}=[/mm] h*b
>
> Aber bei der Nebenbedingung hängt es:(
> Ich hätte den Vorschlag: 8m=b-(2*x)
> wobei x der Raum zwischen dieser Wand aus Stahlblech und
> dem Ende des Tunnels ist...
> Desweiteren weiß man noch, dass der Radius 4 m besitzt.
>
> Wäre toll, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen
> könnte.
>
> Datei-Anhang
>
> (Hier ist die Skizze zu der Aufgabe)
Der Trick ist der Satz des Pythagoras.
Es gilt, wenn ich deine Bezeichungen übernehme:
[mm] $\left(\frac{b}{2}\right)^{2}+h^{2}=r^{2}$, [/mm] r=4m ist bekannt
[Dateianhang nicht öffentlich]
a ist die Hälfte von b aus deiner Notation.
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 05.05.2013 | | Autor: | ebarni |
Hallo Marius, vielen Dank für Deine Hilfe!
Also wenn ich dann die Nebenbedingung nach h auflöse, kommt folgendes heraus:
h = [mm] \wurzel{r^{2} - (\bruch{b}{2})^{2}}
[/mm]
Das setze ich dann in die Hauptbedingung ein:
[mm] A_{max} [/mm] = b * h
[mm] A_{max} [/mm] = b * [mm] \wurzel{r^{2} - (\bruch{b}{2})^{2}}
[/mm]
[mm] A_{max} [/mm] = b * [mm] \wurzel{4^{2} - (\bruch{b}{2})^{2}}
[/mm]
[mm] A_{max} [/mm] = b * [mm] \wurzel{16 - (\bruch{b^{2}}{4})}
[/mm]
Und wie kann ich jetzt die Wurzel auflösen? Ich habe es mit quadrieren versucht:
[mm] A_{max}^{2} [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] * (16 - [mm] \bruch{b^{2}}{4})
[/mm]
Stimmt das bis hierhin?
DANKE!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:17 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marius, vielen Dank für Deine Hilfe!
>
> Also wenn ich dann die Nebenbedingung nach h auflöse,
> kommt folgendes heraus:
>
> h = [mm]\wurzel{r^{2} - (\bruch{b}{2})^{2}}[/mm]
>
> Das setze ich dann in die Hauptbedingung ein:
>
> [mm]A_{max}[/mm] = b * h
>
> [mm]A_{max}[/mm] = b * [mm]\wurzel{r^{2} - (\bruch{b}{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]A_{max}[/mm] = b * [mm]\wurzel{4^{2} - (\bruch{b}{2})^{2}}[/mm]
>
> [mm]A_{max}[/mm] = b * [mm]\wurzel{16 - (\bruch{b^{2}}{4})}[/mm]
>
> Und wie kann ich jetzt die Wurzel auflösen? Ich habe es
> mit quadrieren versucht:
>
> [mm]A_{max}^{2}[/mm] = [mm]b^{2}[/mm] * (16 - [mm]\bruch{b^{2}}{4})[/mm]
>
> Stimmt das bis hierhin?
Ja, aber ich würde nicht ständig [mm] A_{max} [/mm] schreiben.
Maximieren sollst Du die Funktion
[mm]f(b)[/mm] := [mm]b^{2}[/mm] * (16 - [mm]\bruch{b^{2}}{4})[/mm]
FRED
>
> DANKE!!!!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 05.05.2013 | | Autor: | ebarni |
Hallo Fred! Vielen Dank!
Muss das nicht dann auch auf der linken Seite der Gleichung quadriert werden?
[mm] f(b)^{2} [/mm] = [mm] b^{2} [/mm] * (16 - [mm] \bruch{b^{2}}{4})
[/mm]
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred! Vielen Dank!
>
> Muss das nicht dann auch auf der linken Seite der Gleichung
> quadriert werden?
Wir haben die Zuordnung b [mm] \to [/mm] $ [mm] b^{2} [/mm] $ * (16 - $ [mm] \bruch{b^{2}}{4}) [/mm] $
Diese Funktion habe ich f genannt. Wenn Du willst kannst Du sie auch [mm] otto^3_7 [/mm] nennen.
FRED
>
> [mm]f(b)^{2}[/mm] = [mm]b^{2}[/mm] * (16 - [mm]\bruch{b^{2}}{4})[/mm]
>
> Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 So 05.05.2013 | | Autor: | ebarni |
OK, otto finde ich lustiger  )
Also weiter:
b $ [mm] \to [/mm] $ $ [mm] b^{2} [/mm] $ * (16 - $ [mm] \bruch{b^{2}}{4}) [/mm] $
b $ [mm] \to [/mm] $ 16 [mm] b^{2} [/mm] - [mm] \bruch{b^{4}}{4}
[/mm]
Davon die Ableitung bilden:
b' = 32b - [mm] b^{3}
[/mm]
Korrekt?
Und dann gleich Null setzen:
0 = 32b - [mm] b^{3}
[/mm]
0 = 32 - [mm] b^{2}
[/mm]
b = [mm] \pm \wurzel{32}
[/mm]
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 So 05.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> OK, otto finde ich lustiger )
>
> Also weiter:
>
> b [mm]\to[/mm] [mm]b^{2}[/mm] * (16 - [mm]\bruch{b^{2}}{4})[/mm]
>
> b [mm]\to [/mm] 16 [mm]b^{2}[/mm] - [mm]\bruch{b^{4}}{4}[/mm]
>
> Davon die Ableitung bilden:
> b' = 32b - [mm]b^{3}[/mm]
>
> Korrekt?
Nein, Du kannst die Funktion zwar Otto oder sonst wie nennen, ihr aber den Namen der Variable b zu geben ist äußerst ungünstig. Denn $b'=1$ damit stimmt diese Gleichung nicht.
>
> Und dann gleich Null setzen:
>
> 0 = 32b - [mm]b^{3}[/mm]
>
> 0 = 32 - [mm]b^{2}[/mm]
>
> b = [mm]\pm \wurzel{32}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja.
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 05.05.2013 | | Autor: | ebarni |
Hallo notinX,
vielen Dank!
An alle noch mal vielen Dank. Jetzt kann ich die Aufgabe zu Ende lösen.
Viele Grüße,
ebarni
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