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Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheboard.de - leider bekam ich dort keine ausreichende Hilfe.
Nun setze ich meine Hoffnung auf euch, ich soll bis morgen folgende Aufgabe lösen:
Wie errechne ich den größtmöglichen Flächeninhalt bei einem Dreieck mit bspw. 9 cm Umfang? Es sollte mittels Extremalwert gelöst werden und klar herauskommen, dass das größtmögliche Dreieick das gleichseitige ist.
Für das Quadrat habe ich beweisen können, aber eben nicht für das Dreieick. Wäre schön, wenn ich mir da die Lösung flüstern könntet :)
Vielen Dank!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:09 Di 26.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo fairyking!
Zu so später Stunde dir noch ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt: www.matheboard.de - leider bekam
> ich dort keine ausreichende Hilfe.
Was heißt denn ausreichende Hilfe? Hast du dort schon Ansätze bekommen? Dann wäre es nicht schlecht, wenn du uns diese mitteilen würdest, damit wir dir nicht nochmal dasselbe sagen, womit du dann doch nichts anfangen kannst.
> Nun setze ich meine Hoffnung auf euch, ich soll bis morgen
> folgende Aufgabe lösen:
> Wie errechne ich den größtmöglichen Flächeninhalt bei
> einem Dreieck mit bspw. 9 cm Umfang? Es sollte mittels
> Extremalwert gelöst werden und klar herauskommen, dass das
> größtmögliche Dreieick das gleichseitige ist.
> Für das Quadrat habe ich beweisen können, aber eben nicht
> für das Dreieick. Wäre schön, wenn ich mir da die Lösung
> flüstern könntet :)
Also, ich würde da mal mit folgenden Formeln ansetzen:
U=a+b+c (nehmen wir an, die Seiten des Dreiecks heißen so)
[mm] A=\bruch{a*h}{2} [/mm] (nehmen wir die Höhe h auf die Seite a)
[mm] h=\wurzel{b^2-a^2}=\wurzel{c^2-a^2}
[/mm]
Ich bin mir nicht sicher, ob das schon reicht - aber mehr fällt mir dazu im Moment nicht mehr ein. Im Prinzip müsstest du jetzt halt wie immer alle bis auf eine Variable durch die anderen ausdrücken, dann die Zielfunktion (also A) ableiten, gleich 0 setzen usw..
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Di 26.04.2005 | | Autor: | fairyking |
Also, man sagte mir nichts konkretes, auch nur etwas von h auf a und einem Winkel Gamma.
Mein Problem besteht konkret, die zwei Formeln für die Extremalrechnung zu finden, weil ich in A=a*h/2 ja zwei Unbekannten hab und mit U=a+b+c <=> a=U-b-c nicht wirklich weiterkomme.
Ich gehe ja nur von 9 cm Umfang aus und möchte das größtmögliche Dreieck finden.
Dass dies das gleichseitige ist, möchte ich ja dadurch erst beweisen.
Die Sache mit der Ableitung und dem Nullsetzen bekomm ich dann schon hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:46 Di 26.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo fairyking!
Meine ersten Überlegungen gingen in folgende Formel-Richtung für den Flächeninhalt eines Dreieckes:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{s*(s-a)*(s-b)*(s-c)}$ [/mm] mit $s \ = \ [mm] \bruch{a+b+c}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{u}{2}$
[/mm]
Aber es ist mir nicht gelungen, auf eine Variable zu reduzieren.
Dann hatte ich diese Formel vor Augen:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b*c}{2}*\sin \alpha [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a*c}{2}*\sin \beta [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a*b}{2}*\sin \gamma$
[/mm]
Auch hier dasselbe Problem ...
Gemäß Kongruenzsätzen sind doch immer (mind.) drei Größen vorzugeben, um ein Dreieck eindeutig konstruieren zu können.
Daher bin ich mir überhaupt nicht sicher, ob man mit nur einer Nebenbedingung (der vorgegebene Umfang) eine eindeutige Lösung herbeiführen kann.
Gerne lasse ich mich natürlich hier eines besseren belehren!
Ich befürchte, so richtig konnte ich Dir nicht weiterhelfen, aber vielleicht war doch (mehr oder minder bewußt  ) ein Denkanstoß / Anregung für Dich dabei ...
Gruß
Loddar
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Hallo, vielen Dank für den Tipp!
Leider kann ich mit Deinen beiden Formeln gar nichts anfangen!
Heißt dass also ich muss doch von ausgehen, dass ich schon ein gleichseitiges oder gleichschenkliges Dreieck habe und mittels Phytagoras h ausrechnen? Und dann?
Oder vielleicht bekommt ja heute nacht noch jemand einen Geistesblitz :)
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Hallo an alle!
> Meine ersten Überlegungen gingen in folgende
> Formel-Richtung für den Flächeninhalt eines Dreieckes:
>
>
> [mm]A_{\Delta} \ = \ \wurzel{s*(s-a)*(s-b)*(s-c)}[/mm] mit [mm]s \ = \ \bruch{a+b+c}{2} \ = \ \bruch{u}{2}[/mm]
Daran hatte ich auch gedacht. Nimmt man noch die Nebenbedingung hinzu, ergibt sich
[mm]A_{\Delta} \ = \ \wurzel{\frac{9}{2}*(\frac{9}{2}-a)*(\frac{9}{2}-b)*(a+b-\frac{9}{2})}[/mm]
Das Problem ist also symmetrisch in a und b (in dem Sinne, dass man ihre Rollen vertauschen kann und immer noch dasselbe Problem löst). Daraus könnte man doch schließen, dass a und b gleich groß sein müssen. Und dann hat man in der Tat nur noch eine Variable. Aber wenn ihr diese Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks nicht kennt, ist das natürlich blöd.
Viele Grüße
Brigitte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
könnte man nicht im ersten Schritt zeigen, dass unter allen Dreiecken mit gleicher Höhe und gleicher Grundseite, dass gleichschenklige Dreieck das ist mit dem kleinsten Umfang.
Man nennt die Höhenabschnitte $pg$ und $(1-p)g$ und nutzt Pythagoras. Damit gilt: [mm] $U(p)=\sqrt{p^2g^2+h^2}+\sqrt{(1-p)^2g^2+h^2}+g$ [/mm] mit dem Extremwert [mm] $p=\frac{1}{2}$.
[/mm]
Wenn das gezeigt wäre, könnte man direkt Bastianes Ansatz weiterverfolgen und so noch zeigen, dass damit alle Seiten gleich groß sein müssen.
Max
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
, und wir brauchen noch nicht einmal eine Extremwertberechnung durchführen.
![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]"){kind=small}
...).
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
