Extremalprobleme mit Ungl. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Mi 11.06.2008 | | Autor: | medion |
| Aufgabe | Prüfe, ob der Punkt P ein lokaler (der globale) Minimizer des gegebenen Problems ist:
Z = x² - 2x + [mm] y^{4} [/mm] + (y + z)² ->min!
NB: 2x² + y² [mm] \le [/mm] 10
4x + z² [mm] \le [/mm] 10
P (1,0,0) |
Hallo!
Bin mir nicht sicher, ob ich dieses Bsp richtig gelöst habe:
Ich habe zunächst überprüft, ob der Punkt P überhaupt die NB erfüllt. Danach habe ich den Gradienten von der Funktion Z gebildet und daraus die Hesse-Matrix abgeleitet.
H = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 12y²+2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
Diese im Punkt P(1,0,0):
[mm] H_{|P}= \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
Nachdem die Determinante der Hesse-Matrix im Punkt P nicht negativ ist und alle Hauptminoren positiv sind, ist diese Matrix positiv definit und der Punkt P ist ein Minimizer.
Ich weiß jetzt leider nicht, ob es ein lokales oder globales Minimum ist. Wie kann ich das feststellen? Stimmt meine Lösung bis hier hin überhaupt?
Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte!
Danke schonmal an alle, die sich mit meinem Problem befassen!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Do 12.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Prüfe, ob der Punkt P ein lokaler (der globale) Minimizer
> des gegebenen Problems ist:
>
> Z = x² - 2x + [mm]y^{4}[/mm] + (y + z)² ->min!
Das würde ich umformen zu
Z = x² - 2x +1 + [mm]y^{4}[/mm] + (y + z)²-1,
also
Z = [mm] (x-1)^2 [/mm] + [mm]y^{4}[/mm] + (y + z)²-1
Da die drei vorkommenden quadratischen Terme alle nichtnegativ sind, gilt garantiert [mm] Z\ge [/mm] -1.
Dieser minimale Wert -1 wird von P angenommen, und es gibt keinen kleineren Wert.
Gruß Abakus
>
> NB: 2x² + y² [mm]\le[/mm] 10
> 4x + z² [mm]\le[/mm] 10
>
> P (1,0,0)
> Hallo!
>
> Bin mir nicht sicher, ob ich dieses Bsp richtig gelöst
> habe:
>
> Ich habe zunächst überprüft, ob der Punkt P überhaupt die
> NB erfüllt. Danach habe ich den Gradienten von der Funktion
> Z gebildet und daraus die Hesse-Matrix abgeleitet.
>
> H = [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 12y²+2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }[/mm]
>
> Diese im Punkt P(1,0,0):
>
> [mm]H_{|P}= \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }[/mm]
>
> Nachdem die Determinante der Hesse-Matrix im Punkt P nicht
> negativ ist und alle Hauptminoren positiv sind, ist diese
> Matrix positiv definit und der Punkt P ist ein Minimizer.
>
> Ich weiß jetzt leider nicht, ob es ein lokales oder
> globales Minimum ist. Wie kann ich das feststellen? Stimmt
> meine Lösung bis hier hin überhaupt?
>
> Wäre cool, wenn mir jemand helfen könnte!
>
> Danke schonmal an alle, die sich mit meinem Problem
> befassen!
>
> mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Do 12.06.2008 | | Autor: | medion |
Danke für Deine Hilfe!
Stimmt mein Rechenweg, oder gehört dieses Beispiel ganz anders gerechnet?
Ich habe mir folgendes überlegt:
dieser Punkt P muss das globale Minimum sein, denn, wenn man beliebige Werte für y in die Hesse-Matrix einsetzt, merkt man, dass man nur mit y=0 den niedrigsten Wert erzielt. Damit meine ich folgendes:
H = [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 12y²+2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 }
[/mm]
Man betrachte hier nur den Ausdruck 12y²+2. Bei y=0 ergibt sich ein Wert von 2. Bei y=1 einer von 14 usw. dh nur wenn y=0 ist - und das ist bei unserem Punkt der Fall - handelt es sich um ein globales Minimum.
Ist das richtig?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:29 Fr 13.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo medion!
Durch Berechnungen der Ableitungen bzw. Einsetzen in die Ableitungen (und aus nichts anderes besteht ja die Hesse-Matrix) kannst Du nicht auf die Funktionswerte schließen.
Der eleganteste Weg ist also wirklich der von abakus beschriebene.
Gruß
Loddar
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