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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe einen Anhang mitgegeben, die letzte Aufgabe hatte ich ja gut verstanden aba wie wende ich das denn jetzt hier an? Also da hier ein Radius angegeben ist, ist es ja eine Regenrinne mit Zylinderform und für die Mantelfläche gilt doch dann M=2pi*r*h oda liege ich da falsch? Würde mich freuen wenn mir einer "den Weg weisen könnte" :)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 17.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mathematik2005
Also diese Aufgaben sind ja immer das Gleiche (die Professoren sollten sich eigentlich schämen, solche banalen Aufgaben einem erwachsenen Menschen zuzumuten!):
Du hast zwei Funktionen, eine davon muss minimalen Wert annehmen. Beide Funktionen sind Funktionen von zwei Variablen. Da löst du einfach die Funktion, bei der nicht das Minimum gesucht ist, nach einer Variablen auf und setzt das in der Funktion mit dem gesuchten Minimum ein. Dann bildest du die erste Ableitung nach der noch zu verbleibenden Variablen und suchst dort die Nullstelle(n). Geometrische Ueberlegungen weisen dir dann manchmal noch den Weg, um die richtige Minimalstelle auszusuchen. (Ist nicht in allen Aufgaben nötig).
Somit hast du den Wert der einen Variablen bestimmt und kannst das benutzen, um die andere Variable zu berechnen.
Also bei deinem Beispiel: Um die Regentonne herzustellen, benötigt man ja Material für den Boden und für die Mantelfläche.
Für die Mantelfläche, wie du schon herausgefunden hast:
[mm] $2\pi [/mm] rh$
Für den Boden aber noch [mm] $\pi r^2$
[/mm]
Das benötigte Material ist wohl die Summe davon:
[mm] $A=2\pi rh+\pi r^2$
[/mm]
Das Volumen ist: [mm] $V=\pi [/mm] r^2h$
Das Volumen soll minimal werden. Darum löse ich die Oberflächenfunktion nach einer Variablen auf. Nach welcher, ist mir freigestellt. Ich betrachte also zuerst beide Gleichungen und überlege mir, was wohl am einfachsten wäre. Die Oberflächenformel ist in $r_$ quadratisch, in $h_$ aber nicht. Darum entscheide ich mich, nach $h_$ aufzulösen:
[mm] $h=\bruch{A-\pi r^2}{2\pi r}$
[/mm]
Das setze ich also in der Volumenformel ein:
[mm] $V=\pi r^2*\bruch{A-\pi r^2}{2\pi r}=r*\bruch{A-\pi r^2}{2}$
[/mm]
Die erste Ableitung davon (nach $r_$ abgeleitet) Null gesetzt:
[mm] $\bruch{A-3\pi r^2}{2}=0$
[/mm]
Nach $r_$ aufgelöst:
[mm] $r=\pm \wurzel{\bruch{A}{3\pi}}$
[/mm]
Die geometrischen Ueberlegungen besagen, dass nur das Plus-Zeichen in Frage kommt!
Das noch in [mm] $h=\bruch{A-2\pi r^2}{2\pi r}$ [/mm] eingesetzt, liefert den Wert für die Höhe.
Mit lieben Grüssen
Paul
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erstmal ein großes dankeschön an dich! freut mich zumindest den anstatz schonmal richtig gemacht zu haben... habe leider nich viel weiter rechnen können aba du hast mir ja alles geliefert danke! ich werde das dann gleich in meine hausuafgaben übertragen... aba noch eine frage du hast da geschrieben das das volumen minimal sein soll :) das soll doch aber maximal sein bei gegebenem materialbedarf... das ändert doch dann aba trotzdem nichts an deiner formel oda doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 17.03.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mathematik2005
ja klar, da habe ich mich nur verschrieben. Das spielt aber keine Rolle. Das Vorgehen ist ja immer gleich, egal, ob man ein Minimum oder ein Maximum sucht! Die 1. Ableitung muss ja Null seine, bei einem Minimum oder bei einem Maximum.
Manchmal braucht man halt auch noch die 2. Ableitung, um bestimmen zu können, ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Bei den meisten Aufgaben dieser Art ist es aber jeweils aus geometrischen Ueberlegungen klar!
Mit lieben Grüssen
Paul
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ich muss doch dann nur noch die 2m² die mir gegeben wurden an stelle von A setzten und das dann ausrechenen oda liege ich da falsch? tut mir echt leid das ich momentan so total ahnunglos da stehe aba ich hatte erst eine einzige stunde für diese thema und heute stehe ich vor einer neuen front sozusagen :)
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Hallo Mathematik2005,
> ich muss doch dann nur noch die 2m² die mir gegeben wurden
> an stelle von A setzten und das dann ausrechenen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
natürlich!
Denn Paul hat für die gegebene Oberfläche genau dieses A eingesetzt, damit man die Formeln besser nachverfolgen kann.
> oda liege
> ich da falsch? tut mir echt leid das ich momentan so total
> ahnunglos da stehe aba ich hatte erst eine einzige stunde
> für diese thema und heute stehe ich vor einer neuen front
> sozusagen :)
>
Mathematik ist kein Krieg, bei dem Fronten errichtet oder überrannt werden müßten. 
Allenfalls ein spannender (Wett-)Kampf, bei dem es - bei fairem Einsatz aller Wissensmittel - nur Sieger geben kann!
Im übrigen kann es gar nicht sein, dass du erst eine Stunde "für dieses Thema" hattest:
hier handelt es sich um Textaufgaben, die in ähnlicher Form mind. seit der 8. Klasse immer wieder im Unterricht geübt werden - mit steigendem Schwierigkeitsgrad!
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@informix: also früher habe ich sowas natürlich in einer viel einfacheren art und weise gemacht aba jetzt is es halt ein ganzen ticken schwieriger :)
also ich mache da irgendwas falsch wass muss ich denn bei der 1.ableitung beachten .. denn wenn ich meine ergebnisse kontolliere also die probe mache komm ich nicht auf 2 = 2 ? was mache ich denn falsch? also so bin ich vorgegangen...
Hauptbedingung: V = [mm] \pi [/mm] r² h
Nebenbedingung: 2 (m²) = 2 [mm] \pi [/mm] r h + [mm] \pi [/mm] r²
h= [mm] \bruch{2(m²)- \pi r²}{2 \pi r}
[/mm]
V= [mm] \pi [/mm] r² [mm] \bruch{2(m²)- \pi r²}{2 \pi r}
[/mm]
1. Ableitung
V'= [mm] \bruch{2(m²) -3 \pi r²}{2}
[/mm]
r= [mm] \wurzel{ \bruch{2(m²)}{2 \pi} }
[/mm]
h= [mm] \bruch{2-2 \pi r²}{2 \pi r}
[/mm]
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dieser fehler da war nur ein reiner tippfehler, aba trotzdem danke! ich hatte mich da nur verrechner ich habe gerade gesehen das ich von der 2 bei der probe um 0,4 oda so abweiche aba das leigt einfach daran das ich die zahlen auf die letzten beiden stelleb gerundet habe jedesmal :) das passiert dann halt ma ... aba trotzdem danke! echt ne gut community hier! Freut mich auch mal leute zu treffen die einem mut machen in sachen mathe :) nicht so wie mein mathelehrer :D
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![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
