Extremalprobleme < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Habe ein erneutes Problem mit einer Aufgabe=>
Aus 6 Stäben der Länge L=4m wird ein Zeltgerüst aufgebaut, das die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide hat. Für welche Zelthöhe h ergibt sich ein maximales Volumen?
Aus der Aufgabe kann man ja rauslesen, das die Hauptbedingung= Volumen der sechseckigen Pyramide sein soll. Nur leider weiß ich nicht, was die Formel für das Volumen einer sechseckigen Pyramide is (bräuchte also eure Hilfe;)). Mit der Nebenbedingung komm ich auch nicht ganz klar, müsste logischer weise die Länge 4m beinhalten, aber vielleicht wird mir das auch klar, wenn mir einer die Formel für eine sechsekige Pyramide sagen kann;).
PS: Ich würde in Zukunft gerne Skizzen befügen, habe aber leider keine Ahnung, wie man solche erstellt, könntet ihr mir da weiterheflen???
|
|
| |
|
Hallo Chaoslegend,
> Aus 6 Stäben der Länge L=4m wird ein Zeltgerüst aufgebaut,
> das die Form einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide hat.
> Für welche Zelthöhe h ergibt sich ein maximales Volumen?
>
> Aus der Aufgabe kann man ja rauslesen, das die
> Hauptbedingung= Volumen der sechseckigen Pyramide sein
> soll. Nur leider weiß ich nicht, was die Formel für das
> Volumen einer sechseckigen Pyramide is (bräuchte also eure
> Hilfe;)).
Die Formel gibt es nicht so fertig, sie solltest du dir selbst herleiten:
Da die Stäbe, die die Seiten der Pyramide darstellen, gleich lang sind, bilden die Seitenflächen der Pyramide gleichschenklige Dreiecke, deren Grundseite sich ändert, wenn man die Höhe der Pyramide ändert.
Stell dir das Ganze wie einen Sonnenschirm vor dem Eiscafé vor:
Ist der Sonnenschirm noch nicht aufgespannt, hast du eine sehr geringe Grundfläche und auch die "Seitenteile" haben eine ganz kurze Grundseite, aber die "Höhe" ist groß (fast so lang wie die Stäbe!).
Nun spannst du den Schirm langsam auf: die Grundseiten werden länger, die Grundfläche wird größer, aber die Höhe nimmt ab.
Da der Sonnensschirm nur 6 Stäbe hat, liegen die Enden der Stäbe stets auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt senkrecht unter der Spitze der Pyramide liegt und dessen Radius gleich der jeweiligen Grundseite ist. (jedes regelmäßige Sechseck liegt auf einem Kreis.)
So weit das Bild vor Augen?
Dann erkennst du auch, dass die Pyramide sich aus 6 kleineren Pyramiden zusammensetzt. Allerdings steht jetzt eine Kante in Richtung der Höhe senkrecht auf der Grundfläche.
Zeichnen läßt sich das nur ganz schwer, und hier im Forum noch schlechter.
Wenn du deren Volumen ausrechnen kannst (und das geht jetzt, wenn du meine Beschreibung mal in Formeln für Dreiecke und regelmäßige Pyramiden etc. übersetzt, der  Pythagoras könne auch nützlich sein), dann erkennst du:
Wenn so eine Teilpyramide besonders groß wird, wird es auch die ganze.
Und: das Volumen hängt tatsächlich von der Höhe h der Pyramide ab.
Für die Formeln empfehle ich dir: ![[]](/images/popup.gif) in der Wikipedia nachzuschauen.
> Mit der Nebenbedingung komm ich auch nicht ganz
> klar, müsste logischer weise die Länge 4m beinhalten, aber
> vielleicht wird mir das auch klar, wenn mir einer die
> Formel für eine sechsekige Pyramide sagen kann;).
Kannst du sie jetzt selbst herleiten und uns dann dein Ergebnis zeigen?
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für die Antwort, aber auch wenn ich ansatzweise verstanden habe, komme ich noch nicht ganz zurecht (das Thema Extremalprobleme machts mir echt schwer...). Weil ich mir nicht sicher bin, was die Hauptbedingung betrifft, frage ich lieber nochmal nach:
ich weiß jetzt, das sich die Formel für die Hauptbedingung aus dem Volumen der Pyramide [mm] (V=\bruch{1}{3}G\*H) [/mm] und noch was vom Dreieck. Und das habe ich nicht ganz verstanden...
Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen?...
|
|
|
| |
|
Hallo Mr. X,
ich hoffe, aus der Zeichnung erkennst Du selbst, wie sich aus der Zeltstablänge
und dem Radius die die Höhe $h(r)$ der Pyramide ergibt.
Du kannst also die Höhe durch den Radius ausdrücken
Das Volumen einer beliebigen Pyramide ist immer = Grundfläche * Höhe / 3
die Grundfläche sind ... ( wieviele ) (?...)seitige 3ecke deren Seitenlänge
der Radius ist.
Die Fläche eines solchen 3ecks ist .... ( eine $Konstante * [mm] Radius^2$ [/mm] )
Die zu maximierende Funktion ist also $f(r) = [mm] r^2 [/mm] * h(r)$
nach dem tatsächlichem Volumen ist ja garnicht gefragt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Hallo!
Also die Hauptbedingung müsste dann sein:
[mm] f=r^{2}\*h [/mm]
und da 6 Dreiecke vorhanden sind, das ganze mal 6 (oder?)...
[mm] f=6\*r^{2}\*h [/mm]
und da die Länge der Stäbe ja gegeben ist (und diese laut Friedrich Laher dem Radius entspricht), kann ich für r=4 einsetzen (oder?)...
[mm] f=6\*4^{2}\*h [/mm]
die Nebenbedingung müsste dann h ersetzen, Friedrich Laher sagte ja bereits, da sich h irgendwie aus der Zeltstablänge und dem Radius ergibt! Es wurde aber auch gesagt, dass der Radius der Stablänge entspricht... irgendwie blick ich da nicht mehr durch...
Hoffe irgendjemand kann mir weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Sa 12.02.2005 | | Autor: | dominik |
Die Lösung mit der Volumenformel und mit Hilfe der Zeichnungen von FriedrichLaher wird recht übersichtlich:
[mm]1. \qquad \qquad V_{Pyramide}= \bruch{1}{3}*G*h[/mm]
Die Grundfläche G besteht aus 6 gleichseitigen Dreiecken mit der Seite r:
[mm]2. \qquad \qquad G=6* \bruch{r^2}{4}* \wurzel{3}[/mm]
Dies wird in 1. eingesetzt:
[mm]1'. \qquad \qquad V_{Pyramide}= \bruch{1}{3}*6* \bruch{r^2}{4}* \wurzel{3}*h= \bruch{r^2}{2}* \wurzel{3}*h=V(r,h)[/mm]
Jetzt muss r durch h oder h durch r ersetzt werden. Grundsätzlich spielt es keine Rolle, welche Grösse durch welche andere ersetzt wird, aber eine kurze Überlegung kann dazu führen, dass die verbleibende Funktion im einen Fall einfacher wird als im andern.
Wie FriedrichLaher gezeigt hat, kommt Pythagoras zum Zug:
[mm]3. \qquad \qquad h^2+r^2=4^2 \gdw h= \wurzel{16-r^2} \quad \vee \quad r^2=16-h^2[/mm]
Nun ist es bestimmt günstiger, r durch h zu ersetzen, weil im andern Fall eine Wurzelfunktion entstünde:
[mm]4. \qquad \qquad V_{Pyramide}= \bruch{r^2}{2}* \wurzel{3}*h= \bruch{16-h^2}{2}* \wurzel{3}*h=\bruch{\wurzel{3}}{2}*(16h-h^3)=V(h)[/mm]
Nun wird V(h) abgeleitet und anschliessen gleich Null gesetzt:
[mm]V'(h)= \bruch{\wurzel{3}}{2}*(16-3h^2)[/mm]
[mm]V'(h)= 0 \gdw \bruch{\wurzel{3}}{2}*(16-3h^2)=0 \gdw 16-3h^2=0 \gdw 3h^2=16 \gdw h^2= \bruch{16}{3}= \bruch{16*3}{9}= \bruch{16}{9}*3 \quad \Rightarrow h= \pm \bruch{4}{3} \wurzel{3}[/mm]
h ist sicher positiv
[mm]5. \qquad \qquad V"(h)= \bruch{\wurzel{3}}{2}*(-6h) \Rightarrow V"( \bruch{4}{3} \wurzel{3})<0 \Rightarrow Maximum[/mm]
Lösung: [mm]h= \bruch{4}{3} \wurzel{3}[/mm]
Viele Grüsse
dominik
|
|
|
| |
|
Vielen Dank nochmal an alle die so viel Geduld hatten;)! Is halt ein (für mich) schweres Thema...
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
