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Hallo!
Mir ist diese Thema immer noch nicht ganz klar (Extremalprobleme), deswegen frage ich nochmal nach Hilfe... Wir haben folgende Aufgabe bekommen (aus dem Buch: Mathematik 11, Cornelsen, S.194, Nr. 14):
Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 42 cm Länge und 30 cm Breite soll eine oben offene Schachtel hergestellt werden. Dazu wird an jeder der vier Ecken ein Quadrat abgeschnitten. Anschließend werden die überstehenden Streifen hochgeklappt (immer noch rechteckig).
Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen der Schachtel maximal wird?
Habe mal probiert die Hauptbedingungaufzustellen...
HB: [mm] A=x\*y [/mm] oder?
Die nebenbedingund ist mir nicht ganz klar... vielleicht könntet ihr mir das erklären?
Den rest der Rechnung verstehe ich ja, aber das rauslesen der Haupt und Nebenbedingung ist mein Problem.... (weil die sich bei jeder Aufgabe ändern und immer ausgefallener werden...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Do 03.02.2005 | | Autor: | Fugre |
> Hallo!
> Mir ist diese Thema immer noch nicht ganz klar
> (Extremalprobleme), deswegen frage ich nochmal nach
> Hilfe... Wir haben folgende Aufgabe bekommen (aus dem Buch:
> Mathematik 11, Cornelsen, S.194, Nr. 14):
>
> Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 42 cm Länge und 30
> cm Breite soll eine oben offene Schachtel hergestellt
> werden. Dazu wird an jeder der vier Ecken ein Quadrat
> abgeschnitten. Anschließend werden die überstehenden
> Streifen hochgeklappt (immer noch rechteckig).
> Wie groß müssen die Quadrate sein, damit das Volumen der
> Schachtel maximal wird?
>
> Habe mal probiert die Hauptbedingungaufzustellen...
> HB: [mm]A=x\*y[/mm] oder?
>
> Die nebenbedingund ist mir nicht ganz klar... vielleicht
> könntet ihr mir das erklären?
> Den rest der Rechnung verstehe ich ja, aber das rauslesen
> der Haupt und Nebenbedingung ist mein Problem.... (weil die
> sich bei jeder Aufgabe ändern und immer ausgefallener
> werden...)
>
Hallo Niko,
also fangen wir einfach mal an. Und notieren wir als erstes mal die Hauptbedingung bzw.
die Zielfunktion. Gesucht ist das maximale Volumen, daraus folgt, dass die Formel für
das Volumen zugleich Zielfunktion ist. Das Volumen eines solchen Körpers berechnet man nach der
einfachen Formel $Volumen=Grundfläche*Höhe$. Grundfläche ist in diesem Fall ein Rechteck,
also gilt für die Grundfläche $A$: $A=a*b$ und daraus folgt dann natürlich $V=a*b*h$
Als Zielfunktion können wir schreiben:
$V(a,b,h)=a*b*h$
Jetzt ist es unsere Aufgabe diese Funktion nur noch in Abhängigkeit von einer
Variablen darzustellen. Zu diesem Zwecke überlegen wir uns, wie mögliche Darstellungen aussehen.
Um diese Zusammenhänge augenscheinlich zu machen, habe ich eine Skizze angefertigt. Das würde
ich dir auch für die Zukunft empfehlen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Beschriftung ignorierst du einfach, da sie irreführend und mehrdeutig sind.
Also fangen wir noch mal an, wir gehen von einem Rechteck aus mit den Seiten $e=42cm$ und $f=30cm$.
Hieraus werden jetzt vier Quadrate am Rand ausgeschnitten, so dass ein kleineres Rechteck mit rechteckigen
Anbauten entsteht. Dieses kleine Rechteck hat die Seitenlängen $a=e-2q$ und $b=f-2q$. Die vier ausgeschnittenen
Quadrate haben die Seitenlänge $q$.
Nun ist dieses kleine Rechteck unsere Grundfläche und die Seitenlänge des Quadrats unsere Höhe.
Von hier kannst du jetzt mal versuchen auf eigene Faust weiterzukommen.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte. Sollte etwas unklar sein, so frag bitte nach.
Liebe Grüße
Fugre
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Do 03.02.2005 | | Autor: | Max |
Bei der Antwort ist Fugre ein kleiner Flüchtigkeitsfehler unterlaufen, denn man zieht die Kantenlänge $q$ des Quadrats zweimal von den entsprechenden Seiten ab. Ansonsten ist der Ansatz wunderbar udn du müsstest die Zielfunktion selbst aufstellen können.
Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Do 03.02.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Max,
vielen Dank für den Hinweis. Ich finde es toll, dass du die Artikel so aufmerksam liest.
Liebe Grüße
Fugre
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So... habe das jetzt mal Probiert! Mir ist das aber noch nicht ganz klar, (und ich weiß auch nicht ob das stimmt)! ==>
Fugre's Angaben zufolge (logischer weise), ist die Hauptbedingung:
[mm] V=a\*b\*h [/mm] oder (meiner Meinung nach das gleiche) [mm] A=a\*b [/mm] und dann [mm] V=A\*h
[/mm]
Die Nebenbedingung müsste dann sein:
a=e-2q
b=f-2q
So, dass habe ich in [mm] A=a\*b [/mm] eingesetzt:
[mm] A=(e-2q)\*(f-2q) [/mm] und nach q aufgelöst:
[mm] 0=(42-2q)\*(30-2q)
[/mm]
0=1260-84q-60q+4q
0=1260-140q
140q=1260
q=9 (richtig??)
Bin mir nicht ganz sicher, weil geschrieben wurde, das was falsch wäre an Fugre's Angaben, ich aber nicht weiß, was!
Sollte das aber richtig sein, müsste demzufolge:
a=33 sein und
b=21 (oder?)
damit ließe sich dann [mm] V=a\*b\*h [/mm] berechnen =>
[mm] V=33\*21\*9
[/mm]
=6237 (???)
Irgendwas stört aber an diesem Ergebnis, dem im Unterricht haben wir immer erst eine Zielfunktion gebildet, davon die Ableitungen und dann habe wir die Extremalbrechnung noch gemacht! Von daher gehe ich davon aus, das ich mal wieder was falsch gemacht habe, aber nicht weiss was! Vielleicht wisst ihr weiter?!
Trotzdem schon mal danke für die Ansätze (@Fugre)!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
> So... habe das jetzt mal Probiert! Mir ist das aber noch
> nicht ganz klar, (und ich weiß auch nicht ob das stimmt)!
> ==>
>
> Fugre's Angaben zufolge (logischer weise), ist die
> Hauptbedingung:
> [mm]V=a\*b\*h[/mm] oder (meiner Meinung nach das gleiche) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]A=a\*b[/mm]
> und dann [mm]V=A\*h
[/mm]
>
> Die Nebenbedingung müsste dann sein:
> a=e-2q
> b=f-2q
>
> So, dass habe ich in [mm]A=a\*b[/mm] eingesetzt:
> [mm]A=(e-2q)\*(f-2q)[/mm] und nach q aufgelöst: ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Warum denn das? Wir wollen doch erstmal die Zielfunktion $V(q)$ bestimmen! Ab hier wird es dann leider falsch.
> [mm]0=(42-2q)\*(30-2q)
[/mm]
> 0=1260-84q-60q+4q
> 0=1260-140q
> 140q=1260
> q=9 (richtig??)
Warum sollte denn der Flächeninhalt der Grundfläche der Schachtel $0$ sein? Außerdem wäre beim ausmultiplizieren eine quadratische Gleichung mit zwei Lösungen entstanden, dass ist aber auch egal.
>
> Bin mir nicht ganz sicher, weil geschrieben wurde, das was
> falsch wäre an Fugre's Angaben, ich aber nicht weiß, was!
Du hast die $2q$ ja richtig in die Bedingung für die Seiten eingebaut
>
> Sollte das aber richtig sein, müsste demzufolge:
> a=33 sein und
> b=21 (oder?)
>
> damit ließe sich dann [mm]V=a\*b\*h[/mm] berechnen =>
> [mm]V=33\*21\*9
[/mm]
> =6237 (???)
siehe oben
>
> Irgendwas stört aber an diesem Ergebnis, dem im Unterricht
> haben wir immer erst eine Zielfunktion gebildet, davon die
> Ableitungen und dann habe wir die Extremalbrechnung noch
> gemacht! Von daher gehe ich davon aus, das ich mal wieder
> was falsch gemacht habe, aber nicht weiss was! Vielleicht
> wisst ihr weiter?!
Mach erstmal $V(q)$ neu. Dann hast du die Zielfunktion und kannst auch so wie im Unttericht weiter machen.
>
> Trotzdem schon mal danke für die Ansätze (@Fugre)!
Dir mal viel Erfolg!
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Hallo!
Also erlich gesagt verstehe ich jetzt nichts mehr...
Das mit der Hauptbedingung und der Nebenbedingung habe ich ja verstanden, aber auf dem Weg, den ich gelernt habe, komme ich jetzt nicht mehr weiter (jedenfalls wüsste ich nicht wie, habe es ja schon probiert, war aber falsch!). Darum meine Frage:
wie stelle ich jetzt die Zielfunktion V(q) auf?
Wir haben das in der Schule so gelernt, das wir erst die Haupt und Nebenbedingung aufstellen sollten, dann die Nebenbedingung nach x auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen...
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Hallo, chaoslegend,
bei der Vielzahl der Bemerkungen/Antworten, die Du erhalten hast, blicke ich selbst nicht mehr durch. Daher jetzt meine Lösung "von Grund auf":
Das Volumen der Schachtel ergibt sich zu:
V(x)=(42-2x)(30-2x)x,
wobei x die Seitenlänge der an den Ecken abgeschnittenen Quadrate bedeutet.
x liegt (wegen der kürzeren Seitenlänge 30cm) zwischen 0 und 15cm.
Ausmultipliziert ergibt sich: V(x) = [mm] 4x^{3}-144x^{2}+1260x.
[/mm]
Um das Minimum zu finden, braucht man die 1. Ableitung
und setzt diese =0:
[mm] V'(x)=12x^{2}-288x+1260 [/mm] =0.
Da die Lösung zwischen 0 und 15 liegen muss (siehe oben), kommt nur in Frage: x= [mm] 12-\wurzel{39} \approx [/mm] 5,755. (Keine Garantie auf Rechenfehler!)
Also: Die Quadrate habe eine Seitenlänge von ca. 5,755 cm.
mfg!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Sa 31.05.2008 | | Autor: | tenki |
Hallo,
Habe kurz eine Frage dazu.
Warum setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung ein?
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. .__.
Danke im vorraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Sa 31.05.2008 | | Autor: | tenki |
ahhh....frage hat sich erledigt^^''
aber eine andere frage und zwar:
wozu stellt man die erste ableitung auf?
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> aber eine andere frage und zwar:
> wozu stellt man die erste ableitung auf?
Hallo,
um herauszufinden, ob die Funktion f irgendwo eine horizontale Tangente hat. Diese Stellen sind extremwertverdächtig.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> Habe kurz eine Frage dazu.
> Warum setzt man die Nebenbedingungen in die Hauptbedingung
> ein?
> Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. .__.
> Danke im vorraus
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Bei diesen Extremalproblemen mit Nebenbedingung hat man ja folgende Situation:
Die Zielfunktion f hängt von zwei Variablen ab, nennen wir sie f(x,y).
Die beiden Variablen sind nicht unabhängig voneinander, sondern durch irgendeine Beziehung verbunden. Das ist die Nebenbedingung.
Wenn Du diese Nebenbedingung nach einer Variablen auflöst, und dies in die Zielfunktion einsetzt, erreichst Du, daß Deine Zielfunktion nur noch von einer Variablen, etwa y, abhängt.
Nun kannst Du das übliche procedere mit 1. Ableitung usw. starten. Am Ende erhältst Du die y, für die f(y) extremal wird. Durch Einsetzen in die Nebenbedingung erhältst Du die jeweils dazu passenden x-Werte.
Ein einfaches Beispiel ist das Einzäunen einer Fläche:
Nehmen wir an, ich habe 100 m Weidezaunband zur Verfügung und möchte damit für das Pferd ein möglichst großes rechteckiges Stück Wiese zum Abfressen einzäunen.
Länge:a Breite:b
Die Zielfunktion, die Fläche ist dann f(a,b)=a*b.
Nun bin ich in der Wahl von a und b aber nicht frei, die Tatsache, daß ich nur 100m habe, auferlegt mir Schranken. Der Umfang meines Rechteckes muß 100m sein.
Also 100=2a+2b.
Nun soll gleichzeitig f(a,b)=a*b maximal werden und 100=2a+2b gelten.
Ich weiß, daß b=50-a sein muß aufgrund der Nebenbedingung.
Und weil das so ist, gehe ich damit in die Zielfunktion. (Die Fläche, die ich erhalte für a=70 und b=38 interessiert mich nicht, weil mein Weidezaunband dafür sowieso nicht reicht.)
Ich erhalte f(a)=a(50-a), und diese Funktion optimiere ich.
Ergebnis: a=25. Es ist also unter den mir auferlegten Beschränkungen am günstigsten, wenn ich die Länge a=25 m wähle.
Die zugehörige Breite ergibt sich zwangsläufig: 100=2*25+2*b ==> b=25 - was keine Überraschung sein wird...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Sa 31.05.2008 | | Autor: | tenki |
Vielen Dank!
Hat mir sehr weiter geholfen. :D
Lg
tenki
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Hallo!
Habe noch eine letzte Frage zu dieser Aufgabe:
Wie haben sie die Gleichung:
$ [mm] V'(x)=12x^{2}-288x+1260 [/mm] $
nach X aufgelöst? Das ist mir noch nicht so ganz klar!
Aber das Ergebnis stimmt auf jedenfall, habe ich überprüft!
Vielen Dank nochmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Chaoslegend!!
> Wie haben sie die Gleichung:
Du darfst hier im Forum ruhig "Du" sagen - zu allen!!!
> [mm]V'(x)=12x^{2}-288x+1260[/mm]
> nach X aufgelöst? Das ist mir noch nicht so ganz klar!
Die Gleichung, die nach x aufgelöst werden muß, lautet:
[mm] $12x^2 [/mm] - 288*x + 1260 \ = \ [mm] \red{0}$
[/mm]
Dafür bringen wir diese quadratische Gleichung zunächst in die Normalform [mm] ($\red{1*}x^2 [/mm] + p*x + q = 0$) und lösen diese mit Hilfe der  PQFormel , die lautet ...
[mm] $x_{1,2} [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{p}{2} \pm \wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)^2- q}$
[/mm]
Siehst Du nun klar(er) ??
Loddar
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Ja! Jetzt is alles klar! Vielen dank nochmal an alle die soviel Geduld mit mir hatten;)!
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