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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Sa 16.07.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
| Aufgabe | Ein Zylinder Z in [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] x^2+z^2=25
[/mm]
Aufgabe: Berechnung des minimalsten Abstandes zwischen P=(6,7,-8) und Z.
Hilfe: Es sollen die Lagrangsche Multiplikatoren eingesetzt werden und [mm] d^2 [/mm] soll das minimum annehmen, um Wurzeln zu vermeiden und es existiert ein minimum von d. |
[mm] d^2(x,y,z)=(x-6)^2+(y-7)^2+(z+8)^2
[/mm]
[mm] g(x,y,z)=x^2+z^2-25=0
[/mm]
[mm] \nabla g=(2x,02z)\not=\vec0 [/mm] für [mm] (x,y,z)\inZ
[/mm]
1. [mm] 2(x-6)+\lambda2x=0\qquad|*z
[/mm]
2. [mm] 2(y-7)=0\qquad\Rightarrow [/mm] y=7
3. [mm] 2(z+8)+\lambda2z=0\qquad|*x
[/mm]
4. [mm] x^2+z^2-25=0 [/mm]
aus 3.-1.: [mm] z=\bruch{4x}{-3}
[/mm]
in 4.: [mm] x_{1/2}=\pm3 \vee z_{1/2}=\pm4
[/mm]
Damit kämme ich doch auf 4 verschiedene kritische Punkte, in der Lösung steht jedoch, dass es nur zwei sind, und man hat die Werte für x und z im Betrag angegeben. Warum?
Hier die gültigen Lösungen: [mm] d^2(3,7,-4)=25 \vee d^2(-3,7,4)=225
[/mm]
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> Ein Zylinder Z in [mm]\IR^3[/mm] mit [mm]x^2+z^2=25[/mm]
>
> Aufgabe: Berechnung des minimalsten Abstandes zwischen
> P=(6,7,-8) und Z.
"minimal" ist schon ein Superlativ, minimaler geht's gar nicht ...
> Hilfe: Es sollen die Lagrangsche Multiplikatoren eingesetzt
> werden und [mm]d^2[/mm] soll das minimum annehmen, um Wurzeln zu
> vermeiden und es existiert ein minimum von d.
>
> [mm]d^2(x,y,z)=(x-6)^2+(y-7)^2+(z+8)^2[/mm]
> [mm]g(x,y,z)=x^2+z^2-25=0[/mm]
> [mm]\nabla g=(2x,02z)\not=\vec0[/mm] für [mm](x,y,z)\inZ[/mm]
>
> 1. [mm]2(x-6)+\lambda2x=0\qquad|*z[/mm]
> 2. [mm]2(y-7)=0\qquad\Rightarrow[/mm] y=7
> 3. [mm]2(z+8)+\lambda2z=0\qquad|*x[/mm]
> 4. [mm]x^2+z^2-25=0[/mm]
Das Gleichungssystem stimmt.
> aus 3.-1.: [mm]z=\bruch{4x}{-3}[/mm]
> in 4.: [mm]x_{1/2}=\pm3 \vee z_{1/2}=\pm4[/mm]
> Damit kämme ich doch auf 4 verschiedene kritische Punkte,
> in der Lösung steht jedoch, dass es nur zwei sind, und man
> hat die Werte für x und z im Betrag angegeben. Warum?
Setz doch mal in die Gleichungen ein ! Nicht alle 4 Lösungen
erfüllen diese.
> Hier die gültigen Lösungen: [mm]d^2(3,7,-4)=25 \vee d^2(-3,7,4)=225[/mm]
Dabei ist aber nur eine Lösung des ursprünglichen Problems.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Sa 16.07.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
In der Rangbedingung eingesetz: Ergeben alle 4 Kombinationen "0", leider schnüf.
Es ist mir klar, dass nur eine der 4 den minimalsten (nennt sich Hyperlativ, die höchste Steigerung des Superlativen, mehr geht wirklich nicht mehr) Abstand hat.
Weiter habe ich ruasgefunden, dass man ja die ganze Zeit mit [mm] d^2 [/mm] und am ende ziehe ich ja doch noch ne Wurzel, und dann wird daraus nicht [mm] \pm [/mm] x sondern |x|,
aber warum der Prof. nur die beiden Kombinationen angegeben hat, ist mir schleierhaft, gibt es dafür einen Grund, außer, dass das eine minimalste und das andere der maximalste Abstand ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Sa 16.07.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> das eine minimalste und das andere der maximalste Abstand ist.
Wie oben bereits angedeutet: diese Wört sind schlicht und und ergreifend falsch bzw. non-existent!
Gruß
Loddar
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Hallo zusammen,
"minimaler" oder "minimalst" klingt doch viel optimaler als nur minimal...
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Da graut es mir ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]")
Gruß
schachuzipus
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> In der Rangbedingung eingesetz: Ergeben alle 4
> Kombinationen "0", leider schnüf.
>
> Es ist mir klar, dass nur eine der 4 den minimalsten (nennt
> sich Hyperlativ, die höchste Steigerung des Superlativen,
> mehr geht wirklich nicht mehr) Abstand hat.
>
> Weiter habe ich ruasgefunden, dass man ja die ganze Zeit
> mit [mm]d^2[/mm] und am ende ziehe ich ja doch noch ne Wurzel, und
> dann wird daraus nicht [mm]\pm[/mm] x sondern |x|,
>
> aber warum der Prof. nur die beiden Kombinationen angegeben
> hat, ist mir schleierhaft, gibt es dafür einen Grund,
> außer, dass das eine minimalste und das andere der
> maximalste Abstand ist.
Mal abgesehen vom Geplänkel über "Hyperlative":
Es stimmt nicht, dass der "andere" (für den Punkt (-3|7|4) )
ein maximaler Abstand ist !!
Einen solchen gibt es nämlich hier gar nicht, geschweige
denn einen "maximalsten".
LG Al-Chw.
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> In der Randbedingung eingesetzt: Ergeben alle 4
> Kombinationen "0", leider schnüf.
Du sollst eben nicht nur in die (quadratische)
Randbedingungsgleichung einsetzen, sondern auch
in die anderen (linearen) !
LG
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> Ein Zylinder Z in [mm]\IR^3[/mm] mit [mm]x^2+z^2=25[/mm]
>
> Aufgabe: Berechnung des minimalsten Abstandes zwischen
> P=(6,7,-8) und Z.
>
> Hilfe: Es sollen die Lagrangsche Multiplikatoren eingesetzt
> werden und [mm]d^2[/mm] soll das minimum annehmen, um Wurzeln zu
> vermeiden und es existiert ein minimum von d.
>
> [mm]d^2(x,y,z)=(x-6)^2+(y-7)^2+(z+8)^2[/mm]
> [mm]g(x,y,z)=x^2+z^2-25=0[/mm]
> [mm]\nabla g=(2x,02z)\not=\vec0[/mm] für [mm](x,y,z)\inZ[/mm]
>
> 1. [mm]2(x-6)+\lambda2x=0\qquad|*z[/mm]
> 2. [mm]2(y-7)=0\qquad\Rightarrow[/mm] y=7
> 3. [mm]2(z+8)+\lambda2z=0\qquad|*x[/mm]
> 4. [mm]x^2+z^2-25=0[/mm]
>
> aus 3.-1.: [mm]z=\bruch{4x}{-3}[/mm]
Hallo,
wenn Du [mm] $z=\bruch{4x}{-3}$ [/mm] in 4. einsetzt, bekommst Du, daß
x=3 oder x=-3 sein muß.
Nun kannst Du mit [mm] $z=\bruch{4x}{-3}$ [/mm] zu jedem der beiden x-Werte den passenden y-Wert errechnen:
x=3: dann ist z=-4
x=-3: dann ist z=4.
So bekommst Du insgesamt zwei kritische Punkte, nämlich [mm] P_1(3|7|-4) [/mm] und [mm] P_2(-3|7|4).
[/mm]
Ich hoffe, daß damit Dein mathematisches Problem geklärt ist.
Gruß v. Angela
> in 4.: [mm]x_{1/2}=\pm3 \vee z_{1/2}=\pm4[/mm]
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> Damit kämme ich doch auf 4 verschiedene kritische Punkte,
> in der Lösung steht jedoch, dass es nur zwei sind, und man
> hat die Werte für x und z im Betrag angegeben. Warum?
>
> Hier die gültigen Lösungen: [mm]d^2(3,7,-4)=25 \vee d^2(-3,7,4)=225[/mm]
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Sa 16.07.2011 | | Autor: | gotoxy86 |
Ja, dies beantwortet meine Frage danke.
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