Extrema und Nullstellen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Sei $n\in\IN, n\ge2$ und $f(x)=x^{n+1}-2x^{n}+1$ $(x\in\IR)$
(a) Bestimmen Sie die Lage der Extrema von $f$ und berechnen Sie das Minimum von $f$.
(b) Zeigen Sie, dass $f$ genau 2 Nullstellen in $\left[ 1,\infty \right[$ besitzt. |
Hallo.
Ich habe versucht, mich zunächst mit den Begriffen lokales/globales Extremum, notwendige Bedingung für ein lokales Extremum, hinreichende Bedingung für ein globales/lokales Extremum vetraut zu machen, bevor ich an die Aufgabe herangehe. Leider habe ich aber noch immer einige Verständnisschwierigkeiten.
Es wäre super, wenn mir jemand zunächst die folgenden Fragen beantworten könnte, sodass ich die vorliegende Aufgabe bzw. die Musterlösung aus einem anderen Blickwinkel betrachten kann:
1. Wo genau sind die Unterschiede zwischen einem lokalen und einem globalen Extremum?
2. Gibt es irgendwelche Gemeinsamkeiten zwischen den Begriffen Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt aus der Kurvendiskussion am Gymnasium und den Begriffen Maximum und Minimum (also Extrema) aus der Analysis an der Uni?
3. In der Vorlesung war nur von einer "notwendigen Bedingung für ein lokales Extremum" die Rede, aber nicht von einer "notwendigen Bedingung für ein globales Extremum." Existiert ein solches nicht oder ist das nicht wichtig?
Vielen Dank für Eure Mühe.
Gruß
el_grecco
Musterlösung:
(a) Gesucht: Lage der Extrema von $f$ und das Minimum von $f$
Um bequemer argumentieren zu können vorneweg ein kleiner Hilfssatz:
Ist $f:\left[ a,b \right]\to\IR$ stetig und auf $\left] a,b \right[$ streng monoton, so auch auf \left[ a,b \right]$. (HS)
(Beweis)
Zur Aufgabe:
Laut Vorlesung ist eine notwendige Bedingung dafür, dass in einem Punkt $a$ eines offenen Intervalls ein Extremum vorliegt, dass $f'(a)=0$.
Hier wählen wir als offenes Intervall $I=\left] 0,\infty \right[$, verzichten also vorläufig auf den Randpunkt $x=0$.
Die Funktion $f$ ist ein Polynom, also stetig differenzierbar und es gilt:
$f'(x)=(n+1)x^{n}-2nx^{n-1}=x^{n-1}((n+1)x-2n)$ (*)
Damit folgt:
$f'(x)=0\gdw(n+1)x \gdw (n+1)x-2n=0 \gdw x=\bruch{2n}{n+1}$.
Die Funktion $f$ kann also in $\left] 0,\infty \right[$ höchstens ein (lokales) Extremum besitzen, und zwar im Punkte $a:=\bruch{2n}{n+1}$.
Nun untersuchen wir, ob in $a$ überhaupt ein Extremum vorliegt und wenn ja, ob Maximum oder Minimum.
Dazu:
$\forall 0<x<a=\bruch{2n}{n+1} :$
$x<\bruch{2n}{n+1} \gdw (n+1)x<2n$
$\gdw (n+1)x-2n<0 \gdw f'(x)<0$ (Verwendung von (*))
$\Rightarrow f$ streng monoton fallend auf $\left] 0,a \right[$
$\Rightarrow f|\left[ 0,a \right]$ ist streng monoton fallend (HS)
$\Rightarrow \forall 0<x<a : 1=f(0)>f(x)>f(a)$.
$\forall a<x : \bruch{2n}{n+1}<x \gdw 2n<x(n+1) \Rightarrow f'(x)>0$
$\Rightarrow f$ streng monoton wachsend auf $\left] a,\infty \right[$.
$\Rightarrow f|\left[ a,\infty \right]$ streng monoton wachsend (HS)
$\Rightarrow \forall a<x : f(a)<f(x)$
Also:
$\left. \begin{matrix} {\forall 0\le x<a : 1=f(0) \ge f(x)>f(a) \\ \forall a<x : f(a)<f(x) \end{matrix} \right\} \Rightarrow \forall 0 \le x\not=a:f(x)>f(a)$
d.h. $f$ hat im Punkt $a$ ein (globales) Minimum, und es ist
$f(a)=\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n+1}-2*\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n}+1$
Zudem folgt aus $\forall 0<x<a : 1=f(0)>f(x)>f(a)$, dass $f$ im Punkte $0$ (d.h. am Rand des Intervalls $\left[ 0,\infty \right[$) ein lokales Maximum mit Wert $1$ besitzt.
Insgesamt also:
$f$ hat genau ein (globales) Minimum in $a=\bruch{2n}{n+1}$ und ein (lokales) Maximum in $0$.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:00 Mi 31.03.2010 | | Autor: | MaRaQ |
> Sei [mm]n\in\IN, n\ge2[/mm] und [mm]f(x)=x^{n+1}-2x^{n}+1[/mm] [mm](x\in\IR)[/mm]
>
> (a) Bestimmen Sie die Lage der Extrema von [mm]f[/mm] und berechnen
> Sie das Minimum von [mm]f[/mm].
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]f[/mm] genau 2 Nullstellen in [mm]\left[ 1,\infty \right[[/mm]
> besitzt.
> Hallo.
> Ich habe versucht, mich zunächst mit den Begriffen
> lokales/globales Extremum, notwendige Bedingung für ein
> lokales Extremum, hinreichende Bedingung für ein
> globales/lokales Extremum vetraut zu machen, bevor ich an
> die Aufgabe herangehe. Leider habe ich aber noch immer
> einige Verständnisschwierigkeiten.
>
> Es wäre super, wenn mir jemand zunächst die folgenden
> Fragen beantworten könnte, sodass ich die vorliegende
> Aufgabe bzw. die Musterlösung aus einem anderen
> Blickwinkel betrachten kann:
>
> 1. Wo genau sind die Unterschiede zwischen einem lokalen
> und einem globalen Extremum?
Das ist eigentlich ganz einfach. Betrachten wir doch mal die Funktion [mm]f(x) = x^4[/mm].
Diese hat 2 lokale, aber keine globalen Extrema.
Schau dir mal diese Skizze an: ![[]](/images/popup.gif) http://wiki.zum.de/images/b/b2/Punktsym.jpg
Betrachtet man den Verlauf des Graphen gegen [mm]+\infty[/mm] und gegen [mm]-\infty[/mm] so sieht man, dass er ins Unendliche "abhaut".
Er kann also keine globalen Extrema haben (egal wie groß ein Wert ist, du findest immer noch einen größeren).
Anders verhält es sich mit der Normalparabel [mm]f(x) = x^2[/mm]. Diese hat im Ursprung ein lokales (und globales!) Minimum.
> 2. Gibt es irgendwelche Gemeinsamkeiten zwischen den
> Begriffen Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt aus der
> Kurvendiskussion am Gymnasium und den Begriffen Maximum und
> Minimum (also Extrema) aus der Analysis an der Uni?
Ja. Es sind (im Prinzip) exakt die gleichen Begriffe. Nur werden sie in der Uni wesentlich akurater und exakter definiert und behandelt.
> 3. In der Vorlesung war nur von einer "notwendigen
> Bedingung für ein lokales Extremum" die Rede, aber nicht
> von einer "notwendigen Bedingung für ein globales
> Extremum." Existiert ein solches nicht oder ist das nicht
> wichtig?
Hierfür brauchst du (aus naheliegenden Gründen) kein eigenes Kriterium.
Wenn du (z.B.) drei lokale Maxima [mm]H_1 (2,5) , H_2 (5,12) und H_3 (-5,4)[/mm] hast und der Graph weder für plus unendlich noch für minus unendlich ins (positiv) Unendliche verläuft hast du mit [mm]H_2[/mm] dein globales Maximum gefunden.
Wenn man allerdings so will, wäre z.B. ein notwendiges Kriterium für ein globales Maximum, dass [mm]f(x) < +\infty \forall x[/mm] ist.
Das sollte aber schon allein intuitiv klar sein. 
In diesem Themkomplex ist die Schnittmenge zwischen (Schul-)Mathematik (bzw. Analysis) und (Hochschul-)Mathematik nach meinen Beobachtungen so groß wie sonst (fast) nirgends.
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Danke, MaRaQ. Da das Abi auch schon zwei Jahre her ist, muss ich mich erst in die Thematik hineindenken...
Ich habe aber leider nicht verstanden, warum die Normalparabel [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] ein lokales und globales Minimum besitzt, die Parabel [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] aber nur zwei lokale und keine globalen Extrema besitzt?
Müsste [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] im Ursprung nicht ebenfalls ein lokales und globales Minimum besitzen?
Im Internet habe ich ganz nützliche Beispiele gefunden:
http://www.mathe-online.at/mathint/anwdiff/i_BeispGlobLok.html
Dabei habe ich einige Fragen zu den Graphen dort.
(Ich zähle von links nach rechts).
Beim 3. Graphen heißt es:
"Sie besitzt (neben zwei Extrema im Inneren, die nicht eigens hervorgehoben sind) ein lokales Minimum an der linken Randstelle $a$ und ein globales Maximum an der rechten Randstelle $b$."
Ich dachte, wenn man ein abgeschlossenes Intervall wie in diesem Fall betrachtet, dann müsste die Randstelle $a$ doch ein globales Minimum besitzen?
Beim 4. Graphen heißt es:
"Sie besitzt (neben zwei Extrema im Inneren, die nicht eigens hervorgehoben sind) ein lokales Minimum an der linken Randstelle $a$."
Müsste das nicht ein globales Minimum sein, da das Intervall auf dieser Seite abgeschlossen ist?
Beim 5. Graphen heißt es:
"Diese Funktion besitzt an der Stelle $a$ ein globales Minimum, aber kein (lokales oder globales) Maximum."
Könnte man sagen, dass die Funktion an der Stelle $a$ ein lokales und globales Minimum besitzt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Mi 31.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da hat sich maraq wohl einfach verschrieben.
nimm [mm] f(x)=x^4-4x^2 [/mm] das hat 2 lokale Minima, die gleichzeitig auch global sind, weils nirgends kleinere Werte gibt, ein lokales Max bei 0, das aber kein globales ist.
Würde man jetz die Fkt nur im Intervall [-1.5,+1.5] ansehen, wäre das max. in 0 ein globales, ddie 2 globalen min lägen auf dem Rand.
im Intervall [-3,+3] sind die Minima wieder lokal und global, die globalen maxima aber auf dem Rand.
kurz: lokale Min und max haben eine Waagerechte Tangente und [mm] f''\ne0
[/mm]
globale sind einfach die im Def.Gebiet größten Werte.
ein lokales Min am Rand hat man, wenn die fkt daneben größer ist, es ist nur global, wenn es auch der tiefste Wert im Def. Gebiet ist. bei deinem Bsp 3 ist da lokale min im Inneren, der tiefste Punkt, also auch globales min.
also am Rand eines abg. intervalls hat man eigentlich immer lokale Min oder Max, (ausser wenn die fkt stückweise konst. ist) aber global sind sie nur. wenn sie auch den kleinsten oder grössten Wert haben.
mit 4 kannst du jetzt selbst die Antwort geben.
In Worten der Schule: Stell die den Graph als Wanderweg vor. wenn du am abend erzählst, gibst du mit dem höchsten erreichten Punkt des Tages , und dem tiefsten an. Die beiden sind nicht unbedingt am Rand, also am Anfang oder Ende deiner Wanderung.
Wenn du mit Steigen anfingst ist der Anfangspkt aber auf jeden Fall ein lokales min. wenn auch das letzte Stück steigt, ist das auch ein lokales max.
Gruss leduart
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Vielen Dank, leduart, jetzt habe ich so langsam die Zusammenhänge begriffen.
Hierzu aber noch eine Frage:
> Würde man jetz die Fkt nur im Intervall [-1.5,+1.5]
> ansehen, wäre das max. in 0 ein globales, ddie 2 globalen
> min lägen auf dem Rand.
Wäre es falsch, wenn man sagen würde "die 2 globalen und lokalen Minima liegen auf dem Rand"?
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 11:19 Do 01.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank, leduart, jetzt habe ich so langsam die
> Zusammenhänge begriffen.
>
> Hierzu aber noch eine Frage:
>
> > Würde man jetz die Fkt nur im Intervall [-1.5,+1.5]
> > ansehen, wäre das max. in 0 ein globales, ddie 2 globalen
> > min lägen auf dem Rand.
>
> Wäre es falsch, wenn man sagen würde "die 2 globalen und
> lokalen Minima liegen auf dem Rand"?
Ja, das wäre falsch.
Die lokalen Minima liegen in den seltensten Fällen auf dem Rand, denn da müsste jemand die Intervallgrenze bewusst so gelegt haben, dass genau dort ein Tiefpunkt der Funktion ist.
Lokales Maximum/Minimum bedeutet sinngemäß, dass an der betrachteten Selle die Funktionswerte größer(kleiner als "unmittelbar links und rechts daneben sind.
Für das globale Maximum musst du einfach die Funktionswerte aller lokalen Maxima und die Funktionswerte der Itervallgrenzen nehmen und von diesen Werten den größten aussuchen.
Gruß Abakus
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:15 Do 01.04.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> > Wäre es falsch, wenn man sagen würde "die 2 globalen und
> > lokalen Minima liegen auf dem Rand"?
> Ja, das wäre falsch.
Es handelt sich sehr wohl bei 1,5 und -1,5 um globale und damit insbesondere lokale Minima der Funktion [mm] $[-1,5;1,5]\to\IR,x\mapsto x^4-4x^2$.
[/mm]
> Die lokalen Minima liegen in den seltensten Fällen auf
> dem Rand, denn da müsste jemand die Intervallgrenze
> bewusst so gelegt haben, dass genau dort ein Tiefpunkt der
> Funktion ist.
Lokale Minima auf dem Rand sind keineswegs selten: Z.B. immer, wenn eine Funktion [mm] $[a,b]\to\IR$ [/mm] in einer Umgebung von b monoton fallend ist, ist b ein lokales Minimum.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 17:19 Do 01.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> > > Wäre es falsch, wenn man sagen würde "die 2 globalen und
> > > lokalen Minima liegen auf dem Rand"?
> > Ja, das wäre falsch.
> Es handelt sich sehr wohl bei 1,5 und -1,5 um globale und
> damit insbesondere lokale Minima der Funktion
> [mm][-1,5;1,5]\to\IR,x\mapsto x^4-4x^2[/mm].
>
> > Die lokalen Minima liegen in den seltensten Fällen auf
> > dem Rand, denn da müsste jemand die Intervallgrenze
> > bewusst so gelegt haben, dass genau dort ein Tiefpunkt der
> > Funktion ist.
> Lokale Minima auf dem Rand sind keineswegs selten: Z.B.
> immer, wenn eine Funktion [mm][a,b]\to\IR[/mm] in einer Umgebung von
> b monoton fallend ist, ist b ein lokales Minimum.
Hallo,
welche Definition des Begriffs "lokales Minimum" ziehst du für deine Aussage heran?
Nach einigen Definitionsvarianten, die ich mir gerade in verschiedenen Quellen durchgelesen habe, hätten wir beide Unrecht: An einer Randstelle KANN es kein lokales Extremum geben.
Die Wikipedia-Definition verlangt z.B. für eine Minimumstelle [mm] x_0 [/mm] die Existenz eines offenen Intervalls um [mm] x_0 [/mm] herum, welches im Definitionsbereich liegt.
Offene Intervalle haben keine Randpunkte.
Gruß Abakus
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 20:03 Do 01.04.2010 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deinen Hinweis! Mir war gar nicht klar, dass unterschiedliche Definitionen von lokalen Minima im Umlauf sind.
> Die Wikipedia-Definition verlangt z.B. für eine
> Minimumstelle [mm]x_0[/mm] die Existenz eines offenen Intervalls um
> [mm]x_0[/mm] herum, welches im Definitionsbereich liegt.
Falls du die Definition unter 1.1 auf http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert meinst: Dort wird NICHT verlangt, dass ein offenes Intervall um [mm] $x_0$ [/mm] herum im Definitionsbereich liegt.
> welche Definition des Begriffs "lokales Minimum" ziehst du
> für deine Aussage heran?
Ich war von einer Definition nach Art der gerade von mir zitierten Wikipedia-Variante ausgegangen.
Eine Recherche in allen Analysis-Büchern, die ich bei mir zu Hause habe, ergab: Ein Schulbuch (Lambacher Schweizer 11) und das Buch "Einführung in die Analysis 1" von Kaballo verlangen für ein lokales Extremum, dass die Funktion auf einem (nicht notwendig offenen) Intervall definiert ist, lassen aber lokale Minima an Randstellen zu. Forster verlangt in seiner Definition für ein lokales Minimum dagegen, dass die Funktion auf einem offenen Intervall definiert ist. Möglicherweise (das kann ich seiner Definition nicht klar entnehmen) fordert er sogar, dass die Funktion auf einem BESCHRÄNKTEN offenen Intervall definiert ist, so dass der Begriff des lokalen Minimums noch nicht einmal für Funktionen [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] erklärt wäre!
Echt nervig, dass die Definitionen so uneinheitlich sind...
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Hallo.
Zu der Musterlösung zu Aufgabenteil (a) habe ich einige Fragen:
1. Mir persönlich ist der Hilfssatz keine große Hilfe, wohl auch deshalb, weil ich ihn nicht richtig interpretieren kann. Ich verstehe ihn aber so, dass er einem im weiteren Verlauf die zweite Ableitung ersparen soll. Ist das richtig?
2. Warum wird in der Zeile [mm] $f'(x)=0\gdw(n+1)x \gdw [/mm] (n+1)x-2n=0 [mm] \gdw x=\bruch{2n}{n+1}$ [/mm] das [mm] $x^{n-1}$ [/mm] vor der Klammer weggelassen?
3. Es wird angegeben, dass die Funktion $f$ höchstens ein (lokales) Extremum besitzt. Wie kommen die auf diese Behauptung?
4. Bei der Untersuchung, ob in $a$ überhaupt ein Extremum vorliegt und falls ja ob Maximum oder Minimum verstehe ich nicht ganz, was dort gemacht worden ist. Hat das etwas hiermit zu tun http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvendiskussion#Hinreichende_Bedingung:_Vorzeichen_der_ersten_Ableitung ?
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:43 Do 01.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo el_grecco!
> 2. Warum wird in der Zeile [mm]f'(x)=0\gdw(n+1)x \gdw (n+1)x-2n=0 \gdw x=\bruch{2n}{n+1}[/mm]
> das [mm]x^{n-1}[/mm] vor der Klammer weggelassen?
Weil der Fall [mm] $x^{n-1} [/mm] \ = \ 0$ separat untersucht werden kann/muss.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Do 01.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du lernst hier ja exemplarisch.
die 2 te Ableitung ist oft umstndlich zu bilden, oder sie muss gar nicht existieren.
Wenn du sie benutzt, müsstest du nachweisen dass sie im ganzen def. Bereich das gleiche Vorzeichen hat, um auf ein einziges lokales max oder min zu schliessen, und auf die eigenschaft global.
(zum Streit unter den Experten: Da muss man eben die genaue Definition der Vorlesung bzw. des verwendeten Skripts oder Buches verwenden.am Rand wird es verschieden verwendet.)
Gruss leduart
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Hallo.
Irgendwie will es mit dieser Aufgabe noch nicht so ganz klappen...
Es wäre super, wenn mir jemand die folgenden Fragen möglichst in Worten beantworten könnte (zur besseren Übersicht habe ich die notwendigen Teile der Musterlösung hier nochmals aufgelistet):
>
> Nun untersuchen wir, ob in [mm]a[/mm] überhaupt ein Extremum
> vorliegt und wenn ja, ob Maximum oder Minimum.
>
> Dazu:
> [mm]\forall 0
>
> [mm]x<\bruch{2n}{n+1} \gdw (n+1)x<2n[/mm]
> [mm]\gdw (n+1)x-2n<0 \gdw f'(x)<0[/mm] (Verwendung von (*))
> [mm]\Rightarrow f[/mm] streng monoton fallend auf [mm]\left] 0,a \right[[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f|\left[ 0,a \right][/mm] ist streng monoton fallend (HS)
> [mm]\Rightarrow \forall 0f(x)>f(a)[/mm].
>
Warum wird in der letzten Zeile in die Funktion eingesetzt und warum wird alles umgedreht, sodass 1 größer als $f(x)$ größer als $f(a)$ ist?
> [mm]\forall a0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f[/mm] streng monoton wachsend auf [mm]\left] a,\infty \right[[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow f|\left[ a,\infty \right][/mm] streng monoton wachsend
> [mm]\Rightarrow \forall a
>
Warum wird hier $a$ am Anfang so gestellt, dass es kleiner als $x$ ist bzw. läuft das immer nach diesem Schema ab?
> Also:
> [mm]\left. \begin{matrix} {\forall 0\le xf(a) \\ \forall af(a)[/mm]
>
Warum heißt es in der Zeile [mm] $\forall 0\le [/mm] x<a$...? liegt das an der Definition in der Aufgabenstellung [mm] $x\ge0$ [/mm] (halboffenes Intervall)?
> d.h. [mm]f[/mm] hat im Punkt [mm]a[/mm] ein (globales) Minimum, und es ist
>
> [mm]f(a)=\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n+1}-2*\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n}+1[/mm]
>
Mir ist der Grund nicht klar, warum nun festgestellt wird, dass es sich hier um ein globales Minimum handelt?
> Zudem folgt aus [mm]\forall 0f(x)>f(a)[/mm], dass [mm]f[/mm] im
> Punkte [mm]0[/mm] (d.h. am Rand des Intervalls [mm]\left[ 0,\infty \right[[/mm])
> ein lokales Maximum mit Wert [mm]1[/mm] besitzt.
> Insgesamt also:
> [mm]f[/mm] hat genau ein (globales) Minimum in [mm]a=\bruch{2n}{n+1}[/mm]
> und ein (lokales) Maximum in [mm]0[/mm].
Wie wird erkannt, dass im Punkte 0 ein lokales Maximum existiert?
Vielen Dank für Eure Hilfe.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Fr 02.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo el grecco
> >
> > Nun untersuchen wir, ob in [mm]a[/mm] überhaupt ein Extremum
> > vorliegt und wenn ja, ob Maximum oder Minimum.
> >
> > Dazu:
> > [mm]\forall 0
> >
> > [mm]x<\bruch{2n}{n+1} \gdw (n+1)x<2n[/mm]
> > [mm]\gdw (n+1)x-2n<0 \gdw f'(x)<0[/mm]
> (Verwendung von (*))
> > [mm]\Rightarrow f[/mm] streng monoton fallend auf [mm]\left] 0,a \right[[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow f|\left[ 0,a \right][/mm] ist streng monoton fallend
> (HS)
> > [mm]\Rightarrow \forall 0f(x)>f(a)[/mm].
> >
> Warum wird in der letzten Zeile in die Funktion eingesetzt
> und warum wird alles umgedreht, sodass 1 größer als [mm]f(x)[/mm]
> größer als [mm]f(a)[/mm] ist?
es wurde doch das Intervall
0<x<a bearbeite, in diesem Intervall ist f'<0 die fkt also fallend, deshalb filt für alle x aus dem Intervall, dass der funktionswert an der kleneren Stelle grösser ist, als der an der größeren Stelle. das ist doch genau die bedeutung von fallen. zeichne ein Stück 0-a auf, ne fallende fkt darüber, nimm irgend ein x zw. 0 und a, dann siehst du, dass f(x)>f(a)
für x<a
>
>
> > [mm]\forall a0[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow f[/mm] streng monoton wachsend auf [mm]\left] a,\infty \right[[/mm].
>
> >
> > [mm]\Rightarrow f|\left[ a,\infty \right][/mm] streng monoton
> wachsend
> > [mm]\Rightarrow \forall a
> >
>
> Warum wird hier [mm]a[/mm] am Anfang so gestellt, dass es kleiner
> als [mm]x[/mm] ist bzw. läuft das immer nach diesem Schema ab?
im ersten Teil wurden die x behandelt unterhalb a, jetzt kommen die x oberhalb a dran.
Wenn man wissen will, ob a ein min. ist, muss man doch wissen was links und rechts von a los ist.
in ner graphik "siehst dus ja sofort: links von a fllt die Funktion, rechts von a steigt sie, dann hast du ein Min- dieses Steigen und fallen wird hier eben nicht durch einen blick, sondern durch die Formeln gezeigt.
>
> > Also:
> > [mm]\left. \begin{matrix} {\forall 0\le xf(a) \\ \forall af(a)[/mm]
>
> >
>
> Warum heißt es in der Zeile [mm]\forall 0\le x
> an der Definition in der Aufgabenstellung [mm]x\ge0[/mm]
> (halboffenes Intervall)?
Ja!
> > d.h. [mm]f[/mm] hat im Punkt [mm]a[/mm] ein (globales) Minimum, und es ist
> >
> > [mm]f(a)=\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n+1}-2*\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n}+1[/mm]
>
> >
>
> Mir ist der Grund nicht klar, warum nun festgestellt wird,
> dass es sich hier um ein globales Minimum handelt?
>
du hast doch gezeigt, dass es für alle x<a und für alle x>a f(x)>f(a)
.h. im ganzen defbereich ist f(a) der kleinste Wert.
> > Zudem folgt aus [mm]\forall 0f(x)>f(a)[/mm], dass [mm]f[/mm] im
> > Punkte [mm]0[/mm] (d.h. am Rand des Intervalls [mm]\left[ 0,\infty \right[[/mm])
> > ein lokales Maximum mit Wert [mm]1[/mm] besitzt.
> > Insgesamt also:
> > [mm]f[/mm] hat genau ein (globales) Minimum in [mm]a=\bruch{2n}{n+1}[/mm]
> > und ein (lokales) Maximum in [mm]0[/mm].
>
> Wie wird erkannt, dass im Punkte 0 ein lokales Maximum
> existiert?
Neben dem Punkt 0 gibt es bis x=a nur kleinere Stellen.
ein lokales Max liegt vor, wenn es eine Umgebung der Stelle gibt, in der nur kleinere Werte liegen.
ein globales läge vor, wenn es im gesamten def.Bereich nur kleinere Werte gäbe, -das ist hier nicht der Fall.
Alles klar jetzt?
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:02 Fr 02.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank für die sehr guten Ausführungen, leduart. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Hoffentlich verstehe ich jetzt Aufgaben dieser Art auf Anhieb.
Gruß
el_grecco
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Hallo.
Der Aufgabenteil (b) bereitet mir leider einige Schwierigkeiten.
Es wäre super, wenn jemand auf meine drei Fragen eingehen könnte.
Musterlösung zu Aufgabenteil (b):
(b) Beweis:
Im Punkt $x=1$ gilt: [mm] $f(1)=1^{n+1}-2*1^{n}+1=0$, [/mm] d.h. eine Nullstelle [mm] $\xi_{1}=1$ [/mm] im Intervall [mm] $\left[ 1,\infty \right[$ [/mm] ist bereits gefunden.
Nun ist [mm] $1
###Meine Frage: Warum kann behauptet werden, dass 1 kleiner als a ist?###
n=1: [mm] $f(x)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}>0$ [/mm] für [mm] $x\not=1 \Rightarrow [/mm] f$ hat überhaupt nur eine Nullstelle, nämlich $x=1$.
(Der Fall $n=1$ musste nicht untersucht werden, dies nur zur Ergänzung.)
n>1:
Dann ist $1<a [mm] \wedge f|\left[ 0,a \right]$ [/mm] streng fallend [mm] $\wedge [/mm] f(1)=0$
[mm] $\Rightarrow \forall [/mm] 1<x<a:0=f(1)>f(x)>f(a)$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine weitere Nullstelle in diesem Teilintervall [mm] $\left[ 1,a \right]$.
[/mm]
Nun gilt [mm] $f(2)=2^{n+1}-2*2^{n}+1=1>0>f(a)$ [/mm] und $2>a$ (denn: [mm] $2>a=\bruch{2n}{n+1} \gdw [/mm] 2n+2>2n$)
###Meine Frage: Wo kommt jetzt plötzlich die 2 her?###
d.h. es folgt aus dem Zwischenwertsatz mit der Stetigkeit von $f$:
[mm] $\exists\xi_{2}\in\left] a,2 \right[:f(\xi_{2})=0$
[/mm]
Also gibt es eine zweite Nullstelle mit [mm] $\xi_{1}=1
Da aber nach Teil (a) [mm] $f|\left[ a,\infty \right[$ [/mm] streng monoton wachsend ist, d.h. $f$ dort injektiv ist, kann es im Intervall [mm] $\left[ a,\infty \right[$ [/mm] nur höchstens eine Nullstelle geben, also gibt es im Teilintervall [mm] $\left[ a,\infty \right[$ [/mm] genau eine Nullstelle, in beiden Teilintervallen zusammen, d.h. in [mm] $\left[ 1,\infty \right[$, [/mm] damit genau 2 Nullstellen. q.e.d.
###Meine Frage: Den letzten Abschnitt verstehe ich leider nicht, vor allem kann ich mit dem Zwischenwertsatz nichts anfangen. Wie könnte man das verständlicher formulieren?###
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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> Hallo.
> Der Aufgabenteil (b) bereitet mir leider einige
> Schwierigkeiten.
> Es wäre super, wenn jemand auf meine drei Fragen eingehen
> könnte.
Hallo,
ich erkläre Dir das lieber,
indem ich versuche, Dir den Weg zu schildern, ohne mich in Rechendetails zu verlieren.
Es geht um die Funktion $ [mm] f(x)=x^{n+1}-2x^{n}+1 [/mm] $ $ [mm] (x\in\IR) [/mm] $ , [mm] n\ge [/mm] 2.
Du willst zeigen, daß sie in [mm] [1,\infty[ [/mm] genau zwei Nullstellen hat.
Der Zwischenwertsatz sagt, daß bei stetigen Funktionen zwischen einer Stelle, an der der Funktionswert negativ ist und einer Stelle mit positivem Funktionswert eine Stelle liegt, an der der Funktionswert =0 ist.
Das kann man hier nutzen:
Zuvor hattest Du festgestellt, daß bei [mm] a:=\bruch{2n}{n+1} [/mm] ein Minimum liegt, der zugehörigige Funktionswert ist
$ [mm] f(a)=\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n+1}-2\cdot{}\left( \bruch{2n}{n+1} \right)^{n}+1 [/mm] $, und Du kannst zeigen, daß dieser Funktionswert kleiner als 0 ist.
Weiter kannst Du Dir überlegen, daß die Stelle a:= [mm] \bruch{2n}{n+1} [/mm] zwischen 1 und 2 liegt.
Der Funktionswert an der Stelle 2 (ich nehme diese Stelle, weil man hier gut rechnen kann und sie funktioniert) ist größer als 0.
Mit dem ZWS erhalten wir: zwischen a und 2 gibt es (mindestens) eine Stelle [mm] \xi, [/mm] an der der Funktionswert =0 ist.
Weiter können wir ausrechnen, daß f(1)=0.
Damit wissen wir, daß es mindestens zwei Nullstellen gibt.
Nun muß noch gesichert werden, daß es nicht mehr als zwei Nullstellen gibt:
Wir haben die beiden Nullstellen 1 und [mm] \xi.
[/mm]
Gäbe es im Intervall [1,2] eine weitere Nullstelle, so müßte die 1.Ableitung über dem Intervall [0,2] zweimal =0 sein (MWS), was nach Teil a) nicht der Fall ist.
Bleibt die Frage zu klären, ob es im Intervall [mm] [\xi,\infty[ [/mm] eine weitere Nullstelle gibt. Nach dem MWS ist dies nicht der Fall.
Gruß v. Angela
>
> Musterlösung zu Aufgabenteil (b):
>
> (b) Beweis:
>
> Im Punkt [mm]x=1[/mm] gilt: [mm]f(1)=1^{n+1}-2*1^{n}+1=0[/mm], d.h. eine
> Nullstelle [mm]\xi_{1}=1[/mm] im Intervall [mm]\left[ 1,\infty \right[[/mm]
> ist bereits gefunden.
> Nun ist [mm]1
>
> ###Meine Frage: Warum kann behauptet werden, dass 1 kleiner
> als a ist?###
>
> n=1: [mm]f(x)=x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}>0[/mm] für [mm]x\not=1 \Rightarrow f[/mm]
> hat überhaupt nur eine Nullstelle, nämlich [mm]x=1[/mm].
> (Der Fall [mm]n=1[/mm] musste nicht untersucht werden, dies nur zur
> Ergänzung.)
>
> n>1:
> Dann ist [mm]1
> [mm]\wedge f(1)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow \forall 1f(x)>f(a)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] keine weitere Nullstelle in diesem
> Teilintervall [mm]\left[ 1,a \right][/mm].
>
> Nun gilt [mm]f(2)=2^{n+1}-2*2^{n}+1=1>0>f(a)[/mm] und [mm]2>a[/mm] (denn:
> [mm]2>a=\bruch{2n}{n+1} \gdw 2n+2>2n[/mm])
>
> ###Meine Frage: Wo kommt jetzt plötzlich die 2 her?###
>
> d.h. es folgt aus dem Zwischenwertsatz mit der Stetigkeit
> von [mm]f[/mm]:
>
> [mm]\exists\xi_{2}\in\left] a,2 \right[:f(\xi_{2})=0[/mm]
>
> Also gibt es eine zweite Nullstelle mit
> [mm]\xi_{1}=1
>
> Da aber nach Teil (a) [mm]f|\left[ a,\infty \right[[/mm] streng
> monoton wachsend ist, d.h. [mm]f[/mm] dort injektiv ist, kann es im
> Intervall [mm]\left[ a,\infty \right[[/mm] nur höchstens eine
> Nullstelle geben, also gibt es im Teilintervall [mm]\left[ a,\infty \right[[/mm]
> genau eine Nullstelle, in beiden Teilintervallen zusammen,
> d.h. in [mm]\left[ 1,\infty \right[[/mm], damit genau 2 Nullstellen.
> q.e.d.
>
> ###Meine Frage: Den letzten Abschnitt verstehe ich leider
> nicht, vor allem kann ich mit dem Zwischenwertsatz nichts
> anfangen. Wie könnte man das verständlicher
> formulieren?###
>
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Sa 03.04.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, Angela für Deinen starken Einsatz trotz der späten Stunde. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Mit Deinen Ausführungen und einer kleinen Skizze habe ich es endlich begriffen.
Schöne Feiertage!
Gruß
el_grecco
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![[]](http://wiki.zum.de/images/b/b2/Punktsym.jpg){kind=small}
http://wiki.zum.de/images/b/b2/Punktsym.jpg