Extrema trigonom. Funktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
| Aufgabe | | Untersuche die Funktion f(x)= [mm] sin(x)+(sin(x))^2 [/mm] auf Symmetrie, Nullstellen, Monotonie sowie Extrempunkte. |
Huhu,
ich habe mir herausgearbeitet, auf welchem Weg man die Nullstellen berechnen kann. Bei dieser Funktion ist das ja recht einfach, da ich sie einfach aufsplitten kann in f(x)= sin(x) * (1+sinx)
Ich habe allerdings meine Probleme, die Extrema herauszubekommen.
Hier habe ich schon die Ableitung berechnet : f(x)= cosx (1+2sinx) und die Extrema des Kosinus wären ja 1/2 pi , 3/2 pi, -1/2 pi, -2/2 pi
bei der restlichen Funktion 1+2 sinx kommen bei mir die Lösungen 11/6 pi, 5/6 pi, -7/6 pi und -1/6 pi raus.
Ich habe das Ganze in Geogebra eingegeben und die nullstellen der ableitung lagen bei meinem berechneten -7/6 pi bei 7/6 pi und bei meinen 5/6 pi bei -5/6 pi ?? Dabei habe ich einfach die formel + k * pi befolgt und einmal 1 und einmal -1 eingesetzt.
Könnt ihr mir helfen?
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe das Ganze in Geogebra eingegeben und die
> nullstellen der ableitung lagen bei meinem berechneten -7/6
> pi bei 7/6 pi und bei meinen 5/6 pi bei -5/6 pi ?? Dabei
> habe ich einfach die formel + k * pi befolgt und einmal 1
> und einmal -1 eingesetzt.
>
> Könnt ihr mir helfen?
Gerne, wenn du dein Problem noch schilderst. 
Deine Ableitung ist richtig, ebenso deine errechneten Werte für die Extremstellen. Eine einzige Sache ist mir eingefallen, die dich vielleicht verwirrt haben könnte: man sieht im Funktionenpülot ja schön, dass es in einer Periode [mm] (P=2\pi) [/mm] insgesamt 4 Extrempunkte gibt. Deine Rechnung liefert aber scheinbar nur drei Nullstellen. Hier musst du bedenken, dass bei der Nullstelle der Kosinusfunktion [mm] k*\pi, [/mm] bei denen der Sinusfunktion jedoch [mm] 2*k*\pi [/mm] addiert werden muss (jeweils natürlich mit [mm] k\in\IZ). [/mm] Das bedeutet: in einer Periode liegen zwei Lösungen der Gleichung cos(x)=0 und zwei Lösungen der Gleichung 1+2sin(x)=0.
Beantwortet das deine Frage?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
Achso, nein, das was du angenommen hast, hat mich nicht verwirrt.
Wenn die Antworten richtig sind, hat sich alles schon bestätigt.
Ich dachte nur, bei meinen Rechnungen hätte ich bei -7/6 pi und bei 5/6 pi die Vorzeichen vertauscht, also, dass die richtigen werte 7/6 pi und -5/6 pi sind, denn so haben wir die Werte im Unterricht aufgeschrieben. Außerdem sieht man diese auch in der Zeichnung des Rechenprogramms..
kannst du dir einen Reim drauf machen oder vertu ich mich nur?
P.s: Danke für die schnelle Antwort. :)
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Achso, nein, das was du angenommen hast, hat mich nicht
> verwirrt.
> Wenn die Antworten richtig sind, hat sich alles schon
> bestätigt.
> Ich dachte nur, bei meinen Rechnungen hätte ich bei -7/6
> pi und bei 5/6 pi die Vorzeichen vertauscht, also, dass die
> richtigen werte 7/6 pi und -5/6 pi sind, denn so haben wir
> die Werte im Unterricht aufgeschrieben. Außerdem sieht man
> diese auch in der Zeichnung des Rechenprogramms..
Jetzt sehe ich auch, wo dein Problem liegt:
[mm] sin(x)=-\bruch{1}{2} [/mm] =>
[mm] x_1=\bruch{7}{6}\pi+2*k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
[mm] x_2=\bruch{11}{6}\pi+2*k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
Somit sind
[mm] \bruch{7}{6}\pi-2\pi=-\bruch{5}{6}\pi
[/mm]
sowie
[mm] \bruch{11}{6}\pi-2\pi=-\bruch{1}{6}\pi
[/mm]
weitere Lösungen, also hast du wohl tatsächlich die Vorzeichen vertauscht.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
Ah, danke, jetzt wird mir einiges klarer, aber entschuldige meine Unwissenheit...
wenn ich den shift sin von -1/2 berechne, kommt meines wissens nach der Wert -1/6 pi raus.
wenn ich nun die restlichen werte möchte, muss ich dann einfach die Formel -1/6 pi + 2*k*pi anwenden?
so komme ich allerdings nur auf den Wert 11/6 pi..
Was darf ich denn für k alles einsetzen?
Komm gar nicht weiter :(
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ah, danke, jetzt wird mir einiges klarer, aber entschuldige
> meine Unwissenheit...
> wenn ich den shift sin von -1/2 berechne...,
Du meinst den Arkussinus.
> ...kommt meines
> wissens nach der Wert -1/6 pi raus.
> wenn ich nun die restlichen werte möchte, muss ich dann
> einfach die Formel -1/6 pi + 2*k*pi anwenden?
> so komme ich allerdings nur auf den Wert 11/6 pi..
> Was darf ich denn für k alles einsetzen?
> Komm gar nicht weiter :(
Die Arkussinusfunktion ist definiert auf [-1;1] mit dem Wertebereich [mm] \left[-\bruch{\pi}{2};\bruch{\pi}{2}\right]. [/mm] Insofern wird der TR den Wert [mm] -\pi/6 [/mm] ausgeben. Und wenn du dich an die [mm] +2*k*\pi [/mm] hältst, dann darfst du für k jede ganze Zahl einsetzen, das genau nmeint man ja mit [mm] k\in\IZ. [/mm]
PS: schreibe deine Beiträge besser direkt als Frage, wenn du noch inhaltliche Fragen hats. Du hast jetzt immer Mitteilungen geschrieben, und ich habe sie in Fragen umgewandelt.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
Ok.Frage :)
wie muss ich die 2*k* pi dann direkt anwenden?
wie komme ich von der Gleichung -1/2 = sin x auf die ganzen Lösungen?
|
|
|
| |
|
Hallo,
[mm] sin(x)=-\bruch{1}{2} [/mm] =>
[mm] x_{1;k}=-\bruch{\pi}{6}+2*k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
So, und da darf man wie gesagt für k jede ganze Zahl einsetzen. Man bekommt also unendlich viele Lösungen, wobei oft bei solchen Funktionen entweder ein abgeschlossener Definitionsbereich vorgegeben ist, oder aber die Funktion einfach nur in einem solchen betrachtet wird.
Jetzt gibt es sber noch eine zweite Elementar-Lösung. Diese erhält man über die Achsensymmetrie der Sinusfunktion zu allen senkrechten Geraden durch ihre Extrempunkte. Daraus folgt bspw.
[mm] sin(\pi-x)=sin(x)
[/mm]
und damit etwa
[mm] sin\left(-\bruch{\pi}{6}\right)=sin\left(\pi+\bruch{\pi}{6}\right)=sin\left(\bruch{7}{6}\pi\right)
[/mm]
Also haben wir
[mm] x_{2;k}=\bruch{7}{6}\pi+2*k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
Jetzt klarer?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
Ja, dankeschön. Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden. Das heißt, dass ich diese "zweite Möglichkeit" sowohl beo den -1/6 pi als auch bei den 11/6 pi anwenden muss, damit die restlichen zwei Lösungen rauskommen, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Ja, dankeschön. Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.
> Das heißt, dass ich diese "zweite Möglichkeit" sowohl beo
> den -1/6 pi als auch bei den 11/6 pi anwenden muss, damit
> die restlichen zwei Lösungen rauskommen, oder?
nein: viel zu umständlich. Erst die zweite Lösung mittels der Symmetrie auffinden, dann mit [mm] +2k\pi [/mm] die restlichen Lösungen erzeugen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
wenn ich den sinus von (11/6 pi) berechne, kommt bei mir aber 0,5 raus..
|
|
|
| |
|
Hallo
> wenn ich den sinus von (11/6 pi) berechne, kommt bei mir
> aber 0,5 raus..
Dann würde ich meinen TR sofort zurückbringen und mein Geld zurückverlangen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 So 17.06.2012 | | Autor: | Natilin |
Ich hab mir das mit der Symmetrie graphisch aufgezeichnet und verstanden. so werd ich das wohl auch in meiner klausur erklären :)
Dankeschön für die Geduld und die Hilfe :)
|
|
|
|
