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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Di 11.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Hallo MatheRaum Team,
ich werde jetzt in einer kommenden Klausur mit Extremwerten konfrontiert.
Als Beispiel hätte ich zum Beispiel die Aufgabe [mm] f(x,y,z)=x+y+z^2 [/mm] auf der Einheitssphäre [mm] S^2=\{(x,y,z)\in\IR^3|x^2+y^2+z^2=1\}.
[/mm]
Also als erstes habe ich meine Randbedingung aufgestellt :
[mm] \nabla f=\lambda*\nabla [/mm] g
Also hier wäre meine erste Frage wie ich das [mm] \lambda [/mm] genau bestimme. Oder kann ich das in diesem Beispiel einfach als 1 wählen?
nun bekomm ich ja folgende Gleichung :
[mm] \vektor{1\\1\\2z}=\lambda*\vektor{2x\\2y\\2z}
[/mm]
Der interessante Punkt wäre hierbei ja [mm] P=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2},z)
[/mm]
durch die parametrisierung der Sphäre würde für z folgen [mm] z=\pm\bruch{\wurzel{2}}{2}
[/mm]
Ist das bis hierher richtig? Oder habe ich bishierher entscheidene Fehler gemacht???
Als nächstes will ich ja wissen ob es Minima oder Maxima sind. Also stelle ich die Gleichung [mm] f-\lambda*g [/mm] auf das wäre ja [mm] x+y+z^2-\lambda*(x^2+y^2+z^2-1)=0
[/mm]
Wenn ich nun die Hesse-Matrix bilde [mm] Hess(f-\lambda*g)=\pmat{-2&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2} [/mm] mit [mm] \lambda [/mm] = 1.
Das würde aber bedeuten das sowohl bei [mm] P_{1}=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2},\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] als auch bei
[mm] P_{2}=(\bruch{1}{2},\bruch{1}{2},\bruch{-\wurzel{2}}{2}) [/mm] Maxima liegen würden, stimt das so?
Vielen Dank schon mal für die Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ThSch,
mir kommt alles richtig vor.
Ich erhalte jedenfalls dasselbe Ergebnis.
> Also als erstes habe ich meine Randbedingung aufgestellt :
> [mm]\nabla f=\lambda*\nabla[/mm] g
> Also hier wäre meine erste Frage wie ich das [mm]\lambda[/mm] genau
> bestimme. Oder kann ich das in diesem Beispiel einfach als
> 1 wählen?
>
> nun bekomm ich ja folgende Gleichung :
> [mm]\vektor{1\\1\\2z}=\lambda*\vektor{2x\\2y\\2z}[/mm]
Nein, Du wählst nicht [mm] \lambda=1, [/mm] sondern [mm] \lambda=1 [/mm] ergibt sich zwangsläufig aus Deiner Gleichung. Wie sonst sollte [mm] 2z=\lambda2z [/mm] sein? Und aus [mm] \lambda=1 [/mm] ergeben sich dann x und y.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 Di 11.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Vielen dank, jetzt hab ichs. Mit dem [mm] \lambda [/mm] dachte ich auch schon daran, dass es sich aus der Gleichung ergibt, aber irgendwie hat mich das ganze dann ein bisschen verwirrt. Auf jeden Fall nochmal vielen Dank für die schnelle antwort.
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Hallo Angela,
ich bin sehr skeptisch, und zwar aus zwei Gründen:
1. Hat das mit der Hessematrix und davon die Definitheit bestimmen bei mir schon mal nicht geklappt. Siehe diese Diskussion.
2. Ist [mm]S^2[/mm] kompakt, und die Funktion f stetig. Daraus folgt, dass es sowohl ein globales Maximum als auch ein globales Minimum geben muss! Und da Lagrange ja notwendig ist, muss einer der beiden Punkte ein Minimum sein.
Was meinst du zu beiden Punkten?
mfg
daniel
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Hallo Daniel,
Ja das Minimum ist verlorengegangen.
Aus [mm] 2z=\lambda [/mm] z kann man eben entweder z=0 oder [mm] \lambda=1 [/mm] folgern
viele Grüße
mathemaduenn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Di 11.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> 2. Ist [mm]S^2[/mm] kompakt, und die Funktion f stetig. Daraus
> folgt, dass es sowohl ein globales Maximum als auch ein
> globales Minimum geben muss! Und da Lagrange ja notwendig
> ist, muss einer der beiden Punkte ein Minimum sein.
Mit der Mitteilung sollte alles erledigt sein, mein Ergebnis: weitere kriotische Punkte sind [m](\bruch{\sqrt{2}}{2},\bruch{\sqrt{2}}{2},0)[/m] und [m](-\bruch{\sqrt{2}}{2},-\bruch{\sqrt{2}}{2},0)[/m], welches dann die Werte [m]\sqrt{2}[/m] und [m]-\sqrt{2}[/m] ergibt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Mi 12.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Mh gut, dann wäre jetzt aber meine Frage wie man dann auf diese beiden kritischen Punkte kommt.
Wenn ich z=0 betrachte, was ist dann mein [mm] \lambda. [/mm] Und wie sehe ich am Ende was mein Minimum und was mein Maximum ist. Denn die Hessematrix liefert immer das selben Ergebnis
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> Mh gut, dann wäre jetzt aber meine Frage wie man dann auf
> diese beiden kritischen Punkte kommt.
> Wenn ich z=0 betrachte, was ist dann mein [mm]\lambda.[/mm] Und wie
> sehe ich am Ende was mein Minimum und was mein Maximum ist.
> Denn die Hessematrix liefert immer das selben Ergebnis
Hallo ThSch,
wie Mathemaduenn richtig feststellte, folgt also aus 2z= [mm] \lambda [/mm] 2z ( [mm] \lambda=1 [/mm] v z=0).
Betrachten wir hier den zweiten Fall, z=0.
Dann ist [mm] 1=\lambda2x [/mm] und [mm] 1=\lambda2y.
[/mm]
Es ist [mm] \lambda \not=0 [/mm] und es folgt x=y. In die Nebenbedingung eingesetzt hat man [mm] 1=2x^2, [/mm] also x= [mm] \pm \wurzel{ \bruch{1}{2}} [/mm] (=y).
In der Tat bringt einen die Hessematrix zur Begründung, warum man an diesen Punkten Minima hat, nicht weiter.
Man müßte wohl zeigen, daß es jeweils eine Umgebung gibt, in welcher kein Funktionswert kleiner als [mm] \wurzel{2} [/mm] bzw. - [mm] \wurzel{2} [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 12.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Mh wenn man alles einmal gezeigt bekam erscheint es logisch. Danke. Jetzt weiß ich becheid. zwar Frage ich mich jetzt wo das [mm] \lambda [/mm] jetzt hinverschwunden ist wenn man z=0 betrachtet, aber das Ergebnis hilft mir schn sehr viel.
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Hallo ThSch,
> Jetzt weiß ich becheid. zwar Frage ich mich
> jetzt wo das [mm]\lambda[/mm] jetzt hinverschwunden ist wenn man z=0
> betrachtet, aber das Ergebnis hilft mir schn sehr viel.
Du kannst das [mm] \lambda [/mm] natürlich noch ausrechnen aber man braucht es eben nicht unbedingt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Do 13.10.2005 | | Autor: | ThSch |
Ok dann nochmal Danke an alle die mir geholfen haben ;)
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