Extrema mit Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 Fr 10.12.2010 | | Autor: | dar |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: [mm] f(x,y)=3*x^{2}-2*x*y+y^{2}
[/mm]
f:{(x,y) [mm] \in R^{2};x^{2}+y^{2}\le1 [/mm] } [mm] \to [/mm] R
Es ist alle lokalen und globalen Extrema zu finden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Ich bitte Euch um die Hilfe.
Ich betrachte 3 Fälle:
1) f: { [mm] (x,y)\in R^{2};x^{2}+y^{2}<1 [/mm] } [mm] \to [/mm] R dabei finde ich ein lokales Minimum im Punkt (0,0)
2) f: { [mm] (x,y)\in R^{2};x^{2}+y^{2}=1 [/mm] } [mm] \to [/mm] R auf dem Rand suche ich globale Extrema und da bleibe ich auf dem Schlauch stehen.
Ich soll? den Rand in Segmente aufteilen, aber wie kann ich das mit so einer Funktion mit einem kugelförmigen Rand machen? (Oder auch wenn die Form überhaupt unbestimmt ist?)
3) f: { [mm] (x,y)\in R^{2};x^{2}+y^{2}\le1 [/mm] } [mm] \to [/mm] R
Bin für jede Hilfe vorab dankbar
Dar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:08 Fr 10.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben ist die Funktion: [mm] f(x,y)=3*x^{2}-2*x*y+y^{2}
[/mm]
> f:{(x,y) [mm] \in R^{2};x^{2}+y^{2}\le1} \to [/mm] R
> Es ist alle lokalen und globalen Extrema zu finden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
> Ich bitte Euch um die Hilfe.
> Ich betrachte 3 Fälle:
> 1) f: [mm] {(x,y)\in R^{2};x^{2}+y^{2}<1} \to [/mm] R dabei finde
> ich ein lokales Minimum im Punkt (0,0)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) f: [mm] {(x,y)\in R^{2};x^{2}+y^{2}=1} \to [/mm] R auf dem Rand
> suche ich globale Extrema und da bleibe ich auf dem
> Schlauch stehen.
> Ich soll? den Rand in Segmente aufteilen, aber wie kann
> ich das mit so einer Funktion mit einem kugelförmigen Rand
> machen? (Oder auch wenn die Form überhaupt unbestimmt
> ist?)
Wenn Du [mm] x^2+y^2=1 [/mm] als Nebenbedingung hast, gilt doch [mm] y^2=1-x^2 [/mm] das kannst Du einsetzen und erhälst dann eine Gleichung für x die Du maximieren kannst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:10 Sa 11.12.2010 | | Autor: | dar |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: [mm] f(x,y)=3*x^{2}-2*x*y+y^{2}
[/mm]
f:{(x,y) [mm] \in R^{2};x^{2}+y^{2}\le1 [/mm] } [mm] \to [/mm] R
Es ist alle lokalen und globalen Extrema zu finden. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ullim, danke für die Antwort,
aber jetzt kriege etwas unverständliches beim maximieren.
1) einsetzen: f(x,y(x))= [mm] 3*x^{2} [/mm] - [mm] 2*x*\wurzel{x^{2} -1} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] - 1.
2)ableiten: [mm] 8*x*\wurzel{x^{2} -1} [/mm] - [mm] 2*(x^{2} [/mm] -1) [mm] -2*x^{2} [/mm] =0
3) lösen: [mm] 8*x*\wurzel{x^{2} -1} [/mm] + 2 [mm] -4*x^{2} [/mm] =0
[mm] (8*x*\wurzel{x^{2} -1})^{2} [/mm] = [mm] (-2+4*x^{2})^{2}
[/mm]
[mm] 16*x^{4} [/mm] - [mm] 16*x^{2} [/mm] +4= [mm] 64*x^{2}*(x^{2} [/mm] -1)
[mm] -48*x^{4} [/mm] + [mm] 48*x^{2} [/mm] +4=0 [mm] x^{2}=t
[/mm]
[mm] -12*t^{2} [/mm] + 12*t +1=0
t= (-12 [mm] \pm \wurzel{192})/(-24)= [/mm] 1/2 [mm] \pm \wurzel{1/3}
[/mm]
dann hat x schon 2 Wurzeln.
und wenn die 2. Ableitung bilde, kommt was ganz komisches raus.
Könntet mir jemand sagen, was ich wieder falsch mache?
Sorry, noch eine kurze Frage: Bei welchen Funktionen benutzt man eigentlich die Aufteilung in Segmente? Welche Voraussetzungen sollen sie erfüllen?
Danke schön
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> Gegeben ist die Funktion: [mm]f(x,y)=3*x^{2}-2*x*y+y^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> f:{(x,y) [mm]\in R^{2};x^{2}+y^{2}\le1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} [mm]\to[/mm] R
> Es ist alle lokalen und globalen Extrema zu finden.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo,
> Ullim, danke für die Antwort,
> aber jetzt kriege etwas unverständliches beim maximieren.
> 1) einsetzen: f(x,y(x))= [mm]3*x^{2}[/mm] - [mm]2*x*\wurzel{x^{2} -1}[/mm] +
> [mm]x^{2}[/mm] - 1.
> 2)ableiten: [mm]8*x*\wurzel{x^{2} -1}[/mm] - [mm]2*(x^{2}[/mm] -1) [mm]-2*x^{2}[/mm]
> =0
> 3) lösen: [mm]8*x*\wurzel{x^{2} -1}[/mm] + 2 [mm]-4*x^{2}[/mm] =0
> [mm](8*x*\wurzel{x^{2} -1})^{2}[/mm] = [mm](-2+4*x^{2})^{2}[/mm]
> [mm]16*x^{4}[/mm] - [mm]16*x^{2}[/mm] +4= [mm]64*x^{2}*(x^{2}[/mm] -1)
> [mm]-48*x^{4}[/mm] + [mm]48*x^{2}[/mm] +4=0 [mm]x^{2}=t[/mm]
> [mm]-12*t^{2}[/mm] + 12*t +1=0
> t= (-12 [mm]\pm \wurzel{192})/(-24)=[/mm] 1/2 [mm]\pm \wurzel{1/3}[/mm]
> dann
> hat x schon 2 Wurzeln.
Im Leben ist das manchmal so mit den 2 Wurzeln..... du bekommst für x also 2 Werte raus, für die die erste Ableitung = 0 ist. Die anderen beiden Lösungen für dein t sind schon negativ.
Setzt du dann [mm]+ \wurzel{\bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm] in die 2. Ableitung ein, kommt was positives raus und wenn du
[mm]- \wurzel{\bruch{1}{2} + \wurzel{\bruch{1}{3}}}[/mm] einsetzt, bekommst du etwas negatives raus.
Ist doch alles klasse  .
Du kannst dir den Graphen ja auch mal zeichnen lassen, um ein Gefühl dafür zu bekommen, was du hier eigentlich ausrechnest .
> und wenn die 2. Ableitung bilde, kommt was ganz komisches
> raus.
> Könntet mir jemand sagen, was ich wieder falsch mache?
>
> Sorry, noch eine kurze Frage: Bei welchen Funktionen
> benutzt man eigentlich die Aufteilung in Segmente? Welche
> Voraussetzungen sollen sie erfüllen?
Bei der Frage habe ich leider keinen Tipp für dich ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") .
> Danke schön
>
>
lg weightgainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:34 Sa 11.12.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben ist die Funktion: [mm] f(x,y)=3*x^{2}-2*x*y+y^{2}
[/mm]
> [mm] f:{(x,y)\in \IR^{2}:x^{2}+y^{2}\le1}\to\IR
[/mm]
> Es sind alle lokalen und globalen Extrema zu finden.
> Ullim, danke für die Antwort,
> aber jetzt kriege etwas unverständliches beim maximieren.
> 1) einsetzen: f(x,y(x))= [mm]3*x^{2}[/mm] - [mm]2*x*\wurzel{x^{2} -1}[/mm] + [mm] x^{2}-1
[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast das Falsche eingesetzt, Du muss nicht [mm] x^2-1 [/mm] sondern [mm] 1-x^2 [/mm] einsetzen. Ansonsten wird die Wurzel ja auch imaginär. Damit musst Du den ganzen Vorgang mit Ableiten, Nullsetzten der Ableitung etc. nochmal machen.
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Danke .
Darauf hatte ich garnicht mehr geachtet bei meiner Durchsicht - Rechenweg und Lösung bleiben dennoch korrekt.... für ein anderes Problem...
lg weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 So 12.12.2010 | | Autor: | dar |
so ein dummer Fehler.
Danke allen für die Hilfe
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