Extrema mit Nebenbedingungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mo 19.01.2009 | | Autor: | dadario |
| Aufgabe | Gegeben:
[mm] f:\IR^2 \to \IR: \vektor{x\\y} \to [/mm] xy+x
Untersuchen Sie f auf Extrema unter der Nebenbedingung [mm] x^2+y^2 [/mm] = 1
a) Mit der Lagrange-Multiplikator Methode
b) Führen sie das extremwertproblem auf ein eindimensionales zurück, indem sie die nebenbedingung nach einer Variablen auflösen und dies und die Funktion einsetzen.Dazu wird eine Fallunterscheidung notwendig. Die Randstellen der beiden betrachteten Bereiche müssen gesondert betrachtet werden. |
zu a )
ich habe die Aufgabe mit Lagrange gelöst und gradf +lambda grad f = null gesetzt und aufgelöst
damit bekam ich die Punkte p1(0,1) und p2(0,-1) dies sind beides Sattelpunkte..
ist dies schon richtig?? oder sind die punkte falsch oder fehlt noch einer ??
zu b)
wie mache ich das genau? wenn ich die nebenbedingung nach x auflöse bekomme ich x= +-1-y
dann hab ich die ersten drei ableitungen berechnet und bin so auch auf sattelpunkte gekommen.
probleme hab ich allerdings mit den randstellen. was genau sind diese?? und wie berechne ich diese ?
danke schonmal
|
|
| |
|
Hallo dadario,
> Gegeben:
>
> [mm]f:\IR^2 \to \IR: \vektor{x\\y} \to[/mm] xy+x
>
> Untersuchen Sie f auf Extrema unter der Nebenbedingung
> [mm]x^2+y^2[/mm] = 1
>
> a) Mit der Lagrange-Multiplikator Methode
> b) Führen sie das extremwertproblem auf ein
> eindimensionales zurück, indem sie die nebenbedingung nach
> einer Variablen auflösen und dies und die Funktion
> einsetzen.Dazu wird eine Fallunterscheidung notwendig. Die
> Randstellen der beiden betrachteten Bereiche müssen
> gesondert betrachtet werden.
> zu a )
> > ich habe die Aufgabe mit Lagrange gelöst und gradf +lambda
> grad f = null gesetzt und aufgelöst
>
> damit bekam ich die Punkte p1(0,1) und p2(0,-1) dies sind
> beides Sattelpunkte..
>
> ist dies schon richtig?? oder sind die punkte falsch oder
> fehlt noch einer ??
Der Punkt (0,-1) ist richtig.
Es fehlen aber noch Punkte.
>
> zu b)
>
> wie mache ich das genau? wenn ich die nebenbedingung nach x
> auflöse bekomme ich x= +-1-y
Aus der Nebenbedingung ergibt sich eine bestimmte Paramterdarstellung.
[mm]x=x\left(t\right), \ y=y\left(t\right)[/mm]
Dies setzt Du nun in f ein.
>
> dann hab ich die ersten drei ableitungen berechnet und bin
> so auch auf sattelpunkte gekommen.
>
> probleme hab ich allerdings mit den randstellen. was genau
> sind diese?? und wie berechne ich diese ?
>
> danke schonmal
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Di 20.01.2009 | | Autor: | dadario |
hmm
aber wie komm ich denn auf die anderen punkte ??
bzw bei der b wenn ich die funktion ausrechne was mache ich dann damit?? irgendwie steh ich da echt auf dem schlauch
|
|
|
| |
|
Hallo dadario!
Wie lautte denn Dein Lagrang-Funktion und die zugehörigen partiellen Ableitungen?
Diese musst Du dann jeweils gleich Null setzen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo dadario!
Du hast oben falsch umgeformt (ich befürchte, Du hast schrecklicherweise summandenweise die Wurzel gezogen ![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") ).
Es gilt im Allgemeinen: [mm] $\wurzel{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}$
[/mm]
Daher muss Deine umgeformte Nenebedingung heißen:
[mm] $$x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{1-y^2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
