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| Aufgabe | Berechnen Sie die Extrema von:
f(x,y) = [mm] ln(x^{2}+y^{2})
[/mm]
unter der Nebenbedingung:
[mm] x^{2}-y^{2} [/mm] = 1 |
Dazu habe i zuerst die Lagrangefunktion aufgestellt:
[mm] L(x,y,\lambda) [/mm] = [mm] ln(x^{2}+y^{2}) [/mm] + [mm] \lambda(x^{2}-y^{2}-1)
[/mm]
und den Gradient berechnet:
grad [mm] L(x,y,\lambda) [/mm] =
[mm] \begin{pmatrix}
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}} + 2x\lambda\\
\\
\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} + 2y\lambda\\
\\
x^{2}-y^{2}-1
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt muss die Nullstellen gefunden werden: ( Habe mit der 3. Gleichung begonnen, da ich es nicht schaffe die anderen beiden nach 0 zulösen)
[mm] x^{2}-y^{2}-1 [/mm] = 0
x = [mm] \pm [/mm] 1
y = 0
1. Gleichung mit x = 1, y=0
[mm] \frac{2x}{x^{2}+y^{2}} [/mm] + [mm] 2x\lambda [/mm] = 0
2 + [mm] 2\lambda [/mm] =0
[mm] \lambda [/mm] =-1
1. Gleichung mit x = -1, y=0
liefert ebenfalls [mm] \lambda [/mm] =-1
[mm] \frac{2(-1)}{1} [/mm] + [mm] 2(-1)\lambda [/mm] = 0
[mm] \lambda [/mm] =-1
Sind nun meine möglichen Extrema einfach die x-y-Werte?
[mm] P_{1} [/mm] = (1/0)
[mm] P_{2} [/mm] = (-1/0)
Und wofür brauche ich das [mm] \lambda [/mm] =-1?
Wäre nett, wenn das jemand erstmal Kontrollesen und mir dann weiterhelfen könnte :)
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> Berechnen Sie die Extrema von:
>
> f(x,y) = [mm]ln(x^{2}+y^{2})[/mm]
>
> unter der Nebenbedingung:
>
> [mm]x^{2}-y^{2}[/mm] = 1
> Dazu habe i zuerst die Lagrangefunktion aufgestellt:
>
> [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] = [mm]ln(x^{2}+y^{2})[/mm] + [mm]\lambda(x^{2}-y^{2}-1)[/mm]
>
> und den Gradient berechnet:
>
> grad [mm]L(x,y,\lambda)[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}
\frac{2x}{x^{2}+y^{2}} + 2x\lambda\\
\\
\frac{2y}{x^{2}+y^{2}} + 2y\lambda\\
\\
x^{2}-y^{2}-1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt muss die Nullstellen gefunden werden: ( Habe mit der
> 3. Gleichung begonnen, da ich es nicht schaffe die anderen
> beiden nach 0 zulösen)
hallo,
bis hierhin sieht es ok aus.
>
> [mm]x^{2}-y^{2}-1[/mm] = 0
> x = [mm]\pm[/mm] 1
> y = 0
diese gleichung beschreibt eine hyperbel mit unendlich vielen lösungen. wie kommst du da bloss auf 2??!
du kannst hier höchstens nach einer der beiden variablen auflösen und das in eine der anderen gleichungen einsetzen
>
> 1. Gleichung mit x = 1, y=0
> [mm]\frac{2x}{x^{2}+y^{2}}[/mm] + [mm]2x\lambda[/mm] = 0
>
> 2 + [mm]2\lambda[/mm] =0
> [mm]\lambda[/mm] =-1
>
> 1. Gleichung mit x = -1, y=0
> liefert ebenfalls [mm]\lambda[/mm] =-1
>
> [mm]\frac{2(-1)}{1}[/mm] + [mm]2(-1)\lambda[/mm] = 0
> [mm]\lambda[/mm] =-1
>
> Sind nun meine möglichen Extrema einfach die x-y-Werte?
> [mm]P_{1}[/mm] = (1/0)
> [mm]P_{2}[/mm] = (-1/0)
>
> Und wofür brauche ich das [mm]\lambda[/mm] =-1?
>
> Wäre nett, wenn das jemand erstmal Kontrollesen und mir
> dann weiterhelfen könnte :)
gruß tee
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