Extrema mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Maximum der Funktion [mm] Z(x,y,z)=(xyz)^2 [/mm] auf der Sphäre [mm] S^2=\{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1 \} [/mm] |
Vorgehensweise ist eigentlich klar.
Will Lagrange Multiplikatoren nutzen.
1. Die Voraussetzung, um Lagrange Multiplikatoren anzuwenden sind erfüllt.
(Rang der Jakobimatrix über die Funktion der Nebenbedingungen hat vollen Rang auf [mm] S^2)
[/mm]
2. Hilfsfunktion ist dann wie folgt gegeben:
h(x,y,z,a) = Z(x,y,z) - a [mm] (x^2+y^2+z^2-1) [/mm] = [mm] (xyz)^2 [/mm] - a [mm] (x^2+y^2+z^2-1)
[/mm]
3. Notwendige Bedingung ist nun, grad h(x,y,z,a) = 0.
Man erhält damit das folgende GLS
I) [mm] 2xy^2z^2-2ax [/mm] = 0
II) [mm] 2yx^2z^2-2ay [/mm] = 0
III) [mm] 2zx^2x^2-2az [/mm] = 0
IV) [mm] x^2+y^2+z^2-1=0
[/mm]
Und dann verlassen mich die Geister. Bekomme insgesamt 8 Kandidaten:
[mm] (\pm \wurzel{\bruch{1}{3}},\pm \wurzel{\bruch{1}{3}},\pm \wurzel{\bruch{1}{3}})
[/mm]
Wenn ich diese überprüfe, sind es alles Maxima, irgendwie Schwachsinn.
Maple spuckt bei der Lösung des GLS auch nur Müll aus. Irgendwie ist der Wurm drinnen. Wäre nett, wenn mir eine(r) helfen kann. Besten Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Man erhält damit das folgende GLS
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> I) [mm]2xy^2z^2-2ax[/mm] = 0
> II) [mm]2yx^2z^2-2ay[/mm] = 0
> III) [mm]2zx^2x^2-2az[/mm] = 0
> IV) [mm]x^2+y^2+z^2-1=0[/mm]
Ja, richtig.
> Und dann verlassen mich die Geister. Bekomme insgesamt 8
> Kandidaten:
> [mm](\pm \wurzel{\bruch{1}{3}},\pm \wurzel{\bruch{1}{3}},\pm \wurzel{\bruch{1}{3}})[/mm]
Naja - richtig und falsch. Du sagst nicht wie du darauf kommst, aber ich erkenne was du gemacht hast: du hast des öfteren durch 0 geteilt und wunderst dich jetzt. Was ist denn wenn [m]x=0[/m] ist? So erhälst du viele Punkte, und wenn du die mal in Z einsetzt, gibt das deine Minima. Du hast Lösungen verloren!
> Wenn ich diese überprüfe, sind es alles Maxima, irgendwie
> Schwachsinn.
Das sind alles Maxima - aber du hast eben Lösungen verloren.
SEcki
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Erst einmal besten Dank.
Her mal kurz meine Vorgehensweise:
A) y * I - x * II = 0 -> x=0 or y=0 (klar) or [mm] y^2=x^2 [/mm] or z=0
B) z * II - y * III = 0 -> y=0 or z=0 (klar) or [mm] z^2=y^2 [/mm] or x=0
C) analog -> x=0 or z=0 or [mm] x^2=z^2 [/mm] or y=0
Wenn ich jetzt die Fälle betrachte, kommt entweder (0,0,0) heraus, oder eben die 8 Kandidaten. (0,0,0) ist aber im Widerspruch zur Nebenbedingung, und daher nicht wirklich ein Kandidat.
Mache ich jetzt einen dummen Fehler beim Lösen des GLS?
Von reinem hinsehen würde ich aber sagen, dass ggf. noch [mm] (0,\pm\wurzel{\bruch{1}{2}},\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}) [/mm] und eine beliebige Permutation, also nochmal insgesamt 12 Kandidaten. ???? Mittlerweile blicke ich durch meien Notizen nicht mehr durch.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> Erst einmal besten Dank.
>
> Her mal kurz meine Vorgehensweise:
>
> A) y * I - x * II = 0 -> x=0 or y=0 (klar) or [mm]y^2=x^2[/mm] or
> z=0
> B) z * II - y * III = 0 -> y=0 or z=0 (klar) or [mm]z^2=y^2[/mm] or
> x=0
> C) analog -> x=0 or z=0 or [mm]x^2=z^2[/mm] or y=0
Okay. Und? Die Fälle muss man jetzt kombinieren.
> Wenn ich jetzt die Fälle betrachte, kommt entweder (0,0,0)
> heraus, oder eben die 8 Kandidaten.
Und wie machst du das? 1. Fall ist [m]x=0[/m], dann ist [m]y^2+z^2=1[/m] und [m]a=0[/m] - und auf diesem Ring ist Z gleich 0.
> (0,0,0) ist aber im
> Widerspruch zur Nebenbedingung, und daher nicht wirklich
> ein Kandidat.
Es ist imemr noch überhaupt nicht klar, wie du die Fälle abarbeitest ...
> Mache ich jetzt einen dummen Fehler beim Lösen des GLS?
Du schreibst ja immer noch nicht, wie du das GLs löst ...
> Von reinem hinsehen würde ich aber sagen, dass ggf. noch
> [mm](0,\pm\wurzel{\bruch{1}{2}},\pm\wurzel{\bruch{1}{2}})[/mm] und
> eine beliebige Permutation, also nochmal insgesamt 12
> Kandidaten. ????
Es gibt wie man oben sieht unendliche viele Minima.
> Mittlerweile blicke ich durch meien
> Notizen nicht mehr durch.
Hmm, kann ich auch nicht helfen. :)
SEcki
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Dann werde ich nochmals kurz notieren wie ich die Fälle sehe, vielleicht ist dort ja mein Fehler.
A) y * I - x * II = 0 -> x=0 or y=0 (klar) or [mm]y^2=x^2[/mm] or z=0
B) z * II - y * III = 0 -> y=0 or z=0 (klar) or [mm]z^2=y^2[/mm] or x=0
C) analog -> x=0 or z=0 or [mm]x^2=z^2[/mm] or y=0
Ergibt folgende Fälle:
folgende fälle können nicht sein, wegen der Nebenbedingung:
x=0 und [mm] x^2=z^2 [/mm] -> y=0, z=0
y=0 und [mm] x^2=y^2 [/mm] -> x=0, z=0
z=0 und [mm] y^2=z^2 [/mm] -> y=0, x=0
z=0 und y=0 -> x=0 analog der Rest
Also Punkte (0,0,0) sind keine Kandidaten.
Bleiben ja nur die Punkte:
[mm] y^2=x^2 [/mm] und [mm] z^2=y^2 [/mm] und [mm] x^2=z^2 [/mm] -> mit Hilfe der Nebenbedingung
[mm] (\pm \wurzel{\bruch{1}{3}},\pm \wurzel{\bruch{1}{3}},\pm \wurzel{\bruch{1}{3}})
[/mm]
Also insgesamt 8 Kandidaten.
des Weiteren:
eien Korrdinate identisch 0 (o.B.d.A. x=0), für den Rest gilt: [mm] y^2+z^2=1 [/mm] und damit [mm] (0,\pm\wurzel{\bruch{1}{2}},\pm\wurzel{\bruch{1}{2}}).
[/mm]
und eine jweilige Permutation. Also nochmals insgesamt 12 Kandidaten.
Mit (0,0,0) habe ich dann 21 Kandidaten, wobei (0,0,0) von vornherein quatsch ist.
Wo liegt mein Fehler??? Kann ja nur am Lösungsverfahren des GLS I-IV liegen. Aber wie geht es besser?
> Es gibt wie man oben sieht unendliche viele Minima.
Kann ich überhaupt nicht verstehen, wie wann wo habe ich das gesehen?
Ich meien es ist ja in de raufgabe nur nach Maxima gefragt, die finde ich ja auch, aber kann ja nicht Sinn und Zweck sein, wenn ich nur durch womöglich Zufall, diese finde.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Sa 02.02.2008 | | Autor: | SEcki |
> folgende fälle können nicht sein, wegen der
> Nebenbedingung:
> x=0 und [mm]x^2=z^2[/mm] -> y=0, z=0
Ist das ein Folgepfeil? Wenn ja - dann stimmt der einfach nicht. y=0 kann man nicht folgern, sondern blos a=0 oder y=0. Für a=0 folgt y=1. I.a. folgt aus x=0 und a=0 nichts weiteres für y und z - außer der NB. Nimmst du hier implizit [m]a\ne 0[/m] an? Das wäre nicht korrekt.
> y=0 und [mm]x^2=y^2[/mm] -> x=0, z=0
> z=0 und [mm]y^2=z^2[/mm] -> y=0, x=0
> z=0 und y=0 -> x=0 analog der Rest
Alles ähnlich falsch.
> Wo liegt mein Fehler??? Kann ja nur am Lösungsverfahren des
> GLS I-IV liegen. Aber wie geht es besser?
Konsequent durcharbeiten, nicht a priori Gleichungen addieren etc pp. Also: was folgt aus x=0 aus I? Für II und III jeweils [m]0=a*y[/m] und [m]0=a*z[/m]. Also, falls [m]a=0[/m] ... dann ist für Z ... symmetrisches Argumente für y=0 und z=0. Sei also [m]x,y,z\ne 0[/m] ...
> Kann ich überhaupt nicht verstehen, wie wann wo habe ich
> das gesehen?
Was ich geschrieben habe - das Urbild von 0 unter Z, da [m]z\ge 0[/m].
> Ich meien es ist ja in de raufgabe nur nach Maxima gefragt,
> die finde ich ja auch,
... ohne Beweis allerdings.
> aber kann ja nicht Sinn und Zweck
> sein, wenn ich nur durch womöglich Zufall, diese finde.
Ist ja nicht das Ziel - man kann es systematisch machen.
SEcki
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Also ist es so, dass meine Gleichungen A,B,C schon dumm geählt sind. Sollte man besser direkt bei I,II,III,IV
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Sa 02.02.2008 | | Autor: | abakus |
Also, wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, lautet sie eigentlich so: Bestimme alle Punkte einer Kugeloberfläche (mit r=1 und M im koordinatenursprung), für die das Produkt der drei Koordinaten maximal ist.
Ich würde mir zunächst ein beliebiges festes (zunächst positives) z wählen (dann wird aus der Kugel ein Kreis), und dort das entsprechende Punktepaar (x,y) suchen, für das xyz maximal ist. In diesem Kreis gilt [mm] x=r\cos\phi [/mm] und [mm] y=r\sin\phi, [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] in dem Kreis der Winkel zwischen dem Schnitt mit der x-z-Ebene und dem Leitstrahl vom Kreismittelpunkt zm Punkt(x,y,z) ist. Das Produkt xy ist aber [mm] r^2*\sin\phi\cos\phi=\bruch{r^2}{2 }\sin2\phi.
[/mm]
Das ist maximal für [mm] 2\phi=90°, [/mm] also [mm] \phi=45°, [/mm] also x=y (für jedes beliebige positive z).
Analog kann ich mit einem beliebigen positiven konstanten x einen entsprechenden Kreis untersuchen, der parallel zur y-z-Ebene liegt und bekomme dort y=z. Also ist eine maximale Lösung möglich, wenn x=y=z>0 gilt. Die restlichen Lösungen entstehen, wenn je zwei dieser positiven Koordinaten durch ihre entgegengesetzte Zahl ersetzt werden.
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Jetzt bin ich komplett verwirrt.
Diese Aufgabe ist eine leicht modifizierte Aufgabe wie sie in Kaballo III unter Extrema mit Nebenbedingungen zu finden ist.
Folglich sollte man diese auch so lösen denke ich. Hätte ich vielelicht direkt schrieben sollen.
Die Lösungsmöglichkeit, welche von "abakus" vorgestellt wurde, muss ich mir erst in Ruhe zu Gemüte führen, denke aber nicht, dass dieses der korrekte Weg ist, den ich bei dieser Aufgabe beschreiten soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 Sa 02.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Jetzt bin ich komplett verwirrt.
>
> Diese Aufgabe ist eine leicht modifizierte Aufgabe wie sie
> in Kaballo III unter Extrema mit Nebenbedingungen zu finden
> ist.
>
> Folglich sollte man diese auch so lösen denke ich. Hätte
> ich vielelicht direkt schrieben sollen.
>
> Die Lösungsmöglichkeit, welche von "abakus" vorgestellt
> wurde, muss ich mir erst in Ruhe zu Gemüte führen, denke
> aber nicht, dass dieses der korrekte Weg ist, den ich bei
> dieser Aufgabe beschreiten soll.
"... beschreiten soll ..." klingt einfach schrecklich. Ich setze mal voraus, dass du die Aufgabe als Übungsaufgabe löst, weil gerade in deinem Studium ein bestimmtes Lösungsverfahren dran ist, was geübt werden soll. Das ist okay. Wenn es aber nur darum gehen würde, die Aufgabe als solche zu lösen, wäre es eine schlimme Einstellung.
Nimm es einfach als Kontrollmöglichkeit für deine Lösung. Für meine Lösungen gilt |x|=|y|=|z|, das entspricht deinen Werten [mm] \pm\wurzel{\bruch{1}{3}}.
[/mm]
Damit es ein wirkliches Maximum ist, musst du nur darauf achten, dass das Produkt xyz positiv ist (also drei positive Faktoren oder zwei negative und einen positiven). Auf der Kugeloberfläche gibt es in jedem der 8 Oktanten einen Punkt, der von allen drei Koordinatenebenen gleich weit entfernt ist, (also mit |x|=|y|=|z|). Für vier dieser 8 Punkte ist das Produkt positiv, für vier andere hingegen zwar betragsgleich, aber eben negativ.
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| Aufgabe | | Berechnen Sie das Maximum der Funktion Z(x,y,z) = [mm] (xyz)^2 [/mm] auf der Sphäre [mm] S^2=\{ (x,y,z) | x^2+y^2+z^2=1 \} [/mm] |
Die Frage ist die gleiche, die ich schonmal gestellt habe. Die bisherigen Hilfen habne mich zwar in meinen Lösungen bestätigt, denke aber dass ich immer noch ein Problem habe. Ich notiere daher hier meinen kompletten Rechenweg.
1) Z ist stetig auf [mm] \IR^3 [/mm] und damit auch auf [mm] S^2 \subseteq \IR^3
[/mm]
2) [mm] S^2 [/mm] ist kompekt, denn
(A) [mm] S^2 [/mm] ist beschränkt, denn: Sei v [mm] \in S^2
[/mm]
[mm] \left| \left| v \right| \right| [/mm] = [mm] (x^2+y^2+z^2)^{1/2}=1
[/mm]
(B) [mm] S^2 [/mm] ist abgeschlossen -> trivial
mit 1)2) folgt nun, das Z auf [mm] S^2 [/mm] ein Extrumum besitzt, sogar Minimum und Maximum.
Bestimme nun das Maximum:
Es sei g(x,y,z) = [mm] x^2+y^2+z^2-1=0
[/mm]
Dg(x,y,z)= [mm] \left( 2x, 2y, 2z \right)
[/mm]
Wann gilt rang Dg(x,y,z) <1?
Eben genau dann, wenn (x,y,z)=(0,0,0). Jedoch ist [mm] (0,0,0)\not\in S^2 [/mm] und somit hat Dg(x,y,z) vollen Rang auf [mm] S^2.
[/mm]
DAMIT ist die Methode der Langrange Multiplikatoren anwendbar.
HILFSFUNKTION:
[mm] h(x,y,z,\lambda)=Z(x,y,z)-\lambda (x^2+y^2+z^2-1)=(xyz)^2-\lambda (x^2+y^2+z^2-1)
[/mm]
NOTWENDIGE BEDINGUNG:
[mm] Dh(x,y,z\lambda) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2x(yz)^2-2x\lambda \\ 2y(xz)^2-2y\lambda \\ 2z(xy)^2-2z\lambda \\ x^2+y^2+z^2-1 \end{pmatrix} [/mm] = 0
Es ergibt sich also das folgende Gleichungssystem.
I) [mm] 2x(yz)^2-2x\lambda [/mm] = 0
II) [mm] 2y(xz)^2-2y\lambda [/mm] = 0
III) [mm] 2z(xy)^2-2z\lambda [/mm] = 0
IV) [mm] x^2+y^2+z^2-1 [/mm] = 0
......
!!!!!!!!!!!!!!!!
So und ab diesem Zeitpunkt bin ich mir beim Lösen des Gleichungssystems nicht mehr sicher, gibt es da einen Trick oder muss man einfach nur scharf hinsehen. Habe Angst das ich einen Fall übersehe, bzw. dieses einfach falsch angehe. Wäre super nett wenn mir da einer konkret mal was vorrechnet. Danke.
!!!!!!!!!!!!!!!!
-------> Die Punkte müssen dann nur noch in Z(x,y,z) eingesetzt werden und dabei enstchieden werden, welches Max und Min sind, dass es welche sind, zeigte die Betrachtung 1)2) ganz oben.
Besten Dank.
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Hallo Jaqueline,
> I) [mm]2x(yz)^2-2x\lambda[/mm] = 0
> II) [mm]2y(xz)^2-2y\lambda[/mm] = 0
> III) [mm]2z(xy)^2-2z\lambda[/mm] = 0
> IV) [mm]x^2+y^2+z^2-1[/mm] = 0
Aus Gleichung (I) ergibt sich:
[mm]2xy^2z^2-2\lamba x=0 \gdw 2x \left(y^2z^2-\lambda)=0 \Rightarrow x=0 \vee \lambda = y^2 z^2[/mm]
Aus Gleichung (II) ergibt sich:
[mm]2yx^2z^2-2\lamba y=0 \gdw 2y \left(x^2z^2-\lambda)=0 \Rightarrow y=0 \vee \lambda = x^2 z^2[/mm]
Aus Gleichung (III) ergibt sich:
[mm]2zx^2y^2-2\lamba z=0 \gdw 2z \left(x^2y^2-\lambda)=0 \Rightarrow z=0 \vee \lambda = x^2 y^2[/mm]
Die Fälle [mm]x=0, y=0, z=0[/mm] können wir ausschließen, da dann [mm]Z\left(x,y,z\right)=0[/mm] ein Minimum ist.
Bleiben also die folgenden Gleichungen:
(I') [mm] \lambda = y^2 z^2[/mm]
(II') [mm] \lambda = x^2 z^2[/mm]
(III') [mm] \lambda = x^2 y^2[/mm]
Aus Gleichung (I')und Gleichung (II') folgt:
[mm]y^2z^2 =x^2z^2 \gdw z^2 \left(y^2-x^2)=0 \Rightarrow z^2=0 \vee y^2-x^2=0[/mm]
Den Fall [mm]z^2=0[/mm] können wir ausschließen, bleibt also nur noch [mm]y^2=x^2[/mm].
Aus Gleichung (II')und Gleichung (III') folgt:
[mm]x^2z^2 =x^2y^2 \gdw x^2 \left(z^2-y^2)=0 \Rightarrow x^2=0 \vee z^2-y^2=0[/mm]
Den Fall [mm]x^2=0[/mm] können wir ausschließen, bleibt also nur noch [mm]z^2=y^2[/mm].
Aus Gleichung (III')und Gleichung (I') folgt:
[mm]x^2y^2 =z^2y^2 \gdw y^2 \left(z^2-x^2)=0 \Rightarrow y^2=0 \vee z^2-x^2=0[/mm]
Den Fall [mm]y^2=0[/mm] können wir ausschließen, bleibt also nur noch [mm]z^2=x^2[/mm].
Insgesamt folgt also [mm]x^2=y^2=z^2[/mm]
Dies eingesetzt in Gleichung (IV):
[mm]3*x^2-1=0 \gdw x^2=\bruch{1}{3} \Rightarrow x=\pm\bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> ......
>
> !!!!!!!!!!!!!!!!
> So und ab diesem Zeitpunkt bin ich mir beim Lösen des
> Gleichungssystems nicht mehr sicher, gibt es da einen Trick
> oder muss man einfach nur scharf hinsehen. Habe Angst das
> ich einen Fall übersehe, bzw. dieses einfach falsch angehe.
> Wäre super nett wenn mir da einer konkret mal was
> vorrechnet. Danke.
> !!!!!!!!!!!!!!!!
>
> -------> Die Punkte müssen dann nur noch in Z(x,y,z)
> eingesetzt werden und dabei enstchieden werden, welches Max
> und Min sind, dass es welche sind, zeigte die Betrachtung
> 1)2) ganz oben.
>
> Besten Dank.
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo, besten dank. Genauso bin ich auch vorgegangen.
Jedoch stellt sich mir jetzt ein kleines Problem in den Raum:
Wie erhalten also die acht Punkte
[mm] (\pm\bruch{1}{\wurzel{3}}, \pm\bruch{1}{\wurzel{3}}, \pm\bruch{1}{\wurzel{3}})
[/mm]
Diese eingesetzt in [mm] Z(x,y,z)=(xyz)^2 [/mm] ergibt für alle acht Punkte [mm] \left( \bruch{1}{3} \right)^{3}
[/mm]
Also alle acht Punkte sind somit Maxima.
Wo sind die Minima von Z(x,y,z) auf [mm] S^2 [/mm] ????
Punkt (0,0,0) [mm] \not\in S^2 [/mm] !!!!
Oder existieren gar keine Minima von Z auf [mm] S^2?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 29.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
es wurden ja die Werte x=0 usw nur für Maxima ausgeschlossen.
[mm] daZ\ge0 [/mm] sind alle Werte Z=0 Minima. also nur noch die auf der Kugel suchen!
(Aber das ist ja nicht die Aufgabe! Du willst ja nur sicher sein, dass es Welche gibt, hier sehr viele!
Gruss leduart
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