Extrema bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Fr 27.05.2011 | | Autor: | datAnke |
| Aufgabe | Die Funktion f : R2 ! R sei durch f(x; y) := [mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] - 2(x - y)2 definiert.
Bestimmen Sie alle Stellen, in denen f lokale Extrema hat, und suchen Sie Stellen,
in denen die Funktion f ihr absolutes Maximum sowie ihr absolute Minimum
annimmt, soweit diese vorhanden sind. |
Hallo und schon mal
bei dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme
zu erstmal de Gradient
grad [mm] f(x,y)=\vektor{4x^3-4x+4y \\ 4y^3+4x-4y}
[/mm]
(1) [mm] 4x^3-4x+4=x^3-x+y=0\gdw y=-x^3+x
[/mm]
(2) [mm] 4y^3+4x-4y=y^3+x-y=0
[/mm]
(1) in (2)
[mm] (-x^3+x)^3+x-(-x^3+x)=0 \gdw
[/mm]
[mm] (-x^3+x)^3=-x^3 \gdw
[/mm]
[mm] -x^3+x=-x
[/mm]
[mm] x_1=0 y_1=0
[/mm]
[mm] x_2=\wurzel{2} [/mm] einsetzen in (1) [mm] y_2=-\wurzel{8}+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] x_3=-\wurzel{2} [/mm] einsetzen in (1) [mm] y_3=\wurzel{8}-\wurzel{2}
[/mm]
so nun kommt schon die erste Frage
warum bekomme ich ein anderes Ergebnis, wenn ich die Gleichung (2) umstelle und in (1) einsetze
[mm] y_4=\wurzel{2} [/mm] einsetzen in [mm] (1)x_4=-\wurzel{8}+\wurzel{2}
[/mm]
[mm] y_5=-\wurzel{2} [/mm] einsetzen in (1) [mm] x_5=\wurzel{8}-\wurzel{2}
[/mm]
[mm] H(x,y)=\pmat{ 12x^2-4 & 4 \\ 4 & 12y^2-4}
[/mm]
[mm] H(0,0)=\pmat{ 1-4 & 4 \\ 4 & -4}
[/mm]
über diesen Punkt kann man keine Aussage machen
(beim plotten sieht es aber wie ein Sattelpunkt aus)
[mm] H(x_2,y_2)=H(x_3,y_3)=H(x_4,y_4)=H(x_5,y_5)=\pmat{ 20 & 4 \\ 4 & 20 }
[/mm]
das wären dann alles Minimas
kann das sein ?
danke
datAnke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
[mm] $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
[/mm]
damit bleiben 3 Punkte.
> $ [mm] H(0,0)=\pmat{ 1-4 & 4 \\ 4 & -4} [/mm] $
> über diesen Punkt kann man keine Aussage machen
Wieso? Die Frage ist, ist er ein absolutes Minimum oder Maximum. (Btw., wenn Du nur die 2. Abl nimmst, dann hat [mm] $x^4$ [/mm] auch kein Minimum. Wie umgeht man da das Problem, daß die 2. Ableitung nichtssagend ist?)
Schau Dir mal die Funktion selber an. Welches grundsätzliche Verhalten erwartest Du? Stetigkeit, insbesondere auch der Ableitung, Verhalten für große x und y, etc. Was sagt uns das für absolute Minima und Maxima?
$ [mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] - 2(x - [mm] y)^2$
[/mm]
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 Fr 27.05.2011 | | Autor: | datAnke |
schon mal danke
die Matrix muss
lauten
[mm] H(0,0)=\pmat{ -4 & 4 \\ 4 & -4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Fr 27.05.2011 | | Autor: | Blech |
Ja, und die Matrix ist negativ definit. Kann aber trotzdem kein globales Maximum sein.
|
|
|
|
