Extrema berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1)
f(x, y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - 3x - 12y + 20
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Hallo,
Extrema bedeutet ja für mich F'(x)=0 und [mm] F''(x)\not= [/mm] 0, also hier:
1)
[mm] f_{x}(x,y)=3x² [/mm] -3 ; [mm] f_{xx}(x,y)=6x [/mm] analog
[mm] f_{y}(x,y)=3y² [/mm] -12; [mm] f_{xx}(x,y)=6y
[/mm]
notwendige Bedingung:
[mm] f_{x}(x,y)=3x² [/mm] -3=0?
3x² -3=0
[mm] \Rightarrow x_1 [/mm] = 1, [mm] x_2 [/mm] = -1
[mm] f_{y}(x,y)=3y² [/mm] -12=0?
3y² -12=0
[mm] \Rightarrow y_1 [/mm] = 2, [mm] y_2 [/mm] = -2
hinreichende Bedingung:
[mm] f_{xx}(1,y)=6
[/mm]
[mm] f_{xx}(-1,y)=-6
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,2)=12
[/mm]
[mm] f_{yy}(x,-2)=-12
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht weiter, wie muss ich bei der Aufgabe denn vorgehen, um die Extremstellen und Werte raus zu bekommen?
Gruß Leipziger
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> 1)
> f(x, y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^3[/mm] - 3x - 12y + 20
>
> Hallo,
>
> Extrema bedeutet ja für mich F'(x)=0 und [mm]F''(x)\not=[/mm] 0,
das ist das "Rezept" für den eindimensionalen Fall;
bei Funktionen mit 2 Variablen ist es etwas differenzierter
> also hier:
>
> 1)
> [mm]f_{x}(x,y)=3x²[/mm] -3 ; [mm]f_{xx}(x,y)=6x[/mm] analog
> [mm]f_{y}(x,y)=3y²[/mm] -12; [mm]f_{xx}(x,y)=6y[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
hier hast du sicher [mm] f_{yy} [/mm] gemeint
du brauchst aber für die Untersuchung auch noch
die "gemischte" Ableitung [mm] f_{xy} (=f_{yx})
[/mm]
Hallo Leipziger,
dieses Thema kommt hier immer etwa wieder vor. Schau doch mal in
den folgenden Thread hinein:
www.matheraum.de/forum/Extrema/t429889
Insbesondere der Link, den Angela dort angibt, könnte dir dienen !
Gruß al-Chw.
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Danke Al-Chwarizmi für die Antwort.
Ich hatte mir den Thread schon angeschaut, aber wir hatten in der Vorlesung bis jetzt weder was von Hessematrix noch vom kritischen Punkt (wobei letzteres wohl dem Extrempunkt entspricht oder). Darum hat mir der Beitrag auch nicht wirklich weiter geholfen, nur vom anschauen hab ich jetzt darauf geschlossen das in dem Beispiel des Links die Hessematrix die 2. Ableitung ist, oder hat das damit nichts zu tun?
Ok ich hab es mir jetzt noch mal etwas angeschaut und bin auf eine seite gestoßen in der so vorgegangen wird:
grad f(x,y) = (3x²-3, 3y²-12)
grad f(x,y) = 0 gilt für: (1,2); (1,-2); (-1,2), (-1,-2)
f''(x,y) = [mm] \pmat{ 6x & \bruch{\partial² f}{\partial x\partial y} \\ \bruch{\partial² f}{\partial x\partial y} & 6y }
[/mm]
dann werden die werte eingesetzt, und man bekommt seine stellen.
leider weiß ich nicht wie man [mm] \bruch{\partial² f}{\partial x\partial y} [/mm] berechnet.
Leipziger
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> vom anschauen hab ich jetzt
> darauf geschlossen das in dem Beispiel des Links die
> Hessematrix die 2. Ableitung ist, oder hat das damit nichts
> zu tun?
die Hessematrix ist die Matrix aller partiellen Ableitungen 2.Ordnung
hi Leipziger
Wenn nicht mit Hessematrix, wie seid ihr denn vorgegangen?
Eigenvektoren und Eigenwerte ?
Kritische Punkte sind Punkte mit grad f =0, also [mm] f_x=f_y=0.
[/mm]
Das sind ja mögliche "Kandidaten" für Extrem- oder Sattelpunkte.
Im Beispiel hier ist die Hessematrix:
[mm] H_f=\pmat{ f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} }=\pmat{ 6x & 0\\ 0 & 6y }
[/mm]
Eine wichtige Rolle spielt nun die Determinante dieser Matrix:
[mm] det(H_f)=\vmat{ f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} }=f_{xx}*f_{yy} -f_{xy}*f_{yx}=36xy
[/mm]
In deinen 4 "kritischen Punkten" hat diese Determinante unter-
schiedliche Vorzeichen. Liefert sie in einem kritischen Punkt ein
negatives Ergebnis, liegt dort ein Sattelpunkt, also sicher kein
Extremum vor.
Liefert sie in einem kritischen Punkt ein positives Ergebnis, so
liegt dort ein Extremum vor. Dann bleibt noch herauszufinden,
ob es sich um ein Minimum oder Maximum handelt. Dies kann
z.B. mittels der "Spur" von [mm] H_f [/mm] entschieden werden.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:52 So 20.07.2008 | | Autor: | Leipziger |
Danke für die ausführliche Antwort mal wieder :)
Jetzt muss ich nur rausfinden wie ich die Spur berechne, aber gibt ja genug Scripte. Nein, unser Prof hat wohl in der letzten Vorlesung damit begonnen, ich konnte aber nicht anwesend sein, und sein Skript was er immer aktualisiert enthält leider dazu nichts. Daran könnte es also liegen, dass ich keine Ahung habe =)
Naja, ich werd jetzt mal die anderen Aufgaben nach dem Schema berechnen, vielen Dank noch mal.
Grüße Leipziger
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> Jetzt muss ich nur rausfinden wie ich die Spur berechne.
Spur = Summe der Hauptdiagonalenelemente einer Matrix
[mm] Spur(H_f) [/mm] = [mm] f_{xx}+ f_{yy}
[/mm]
[mm] det(H_f)>0 [/mm] und [mm] Spur(H_f)>0\quad \Rightarrow [/mm] Minimum
[mm] det(H_f)>0 [/mm] und [mm] Spur(H_f)<0\quad \Rightarrow [/mm] Maximum
(also doch wieder ganz ähnlich wie im gewohnten
eindimensionalen Fall)
LG
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