Extrema berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Mi 25.06.2008 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | Zu betrachten ist die 3-parametrige Schar von Funktionen
$ [mm] f:\IR^2\to \IR [/mm] $ definiert durch
$ [mm] f(x,y):=Ax^2\cdot y+Bx\cdot y^2-Cx\cdot [/mm] y $
mit [mm] $A,B,C\in \IR\backslash\{0}$
[/mm]
Untersuchen Sie - abhängig vom Verhältnis der Parameter A,B,C zueinander die Funktion $ f $ auf ihre lokalen Extrema. |
Hallo Leute,
ich habe erstmal wie üblich die partiellen Ableitungen bestimmt und den Gradienten der so lautet:
$ grad [mm] f(x,y)=\vektor{y(2Ax+By-C)\\x(Ax+2By-C)}^T [/mm] $
um die Extrema zu bestimmen muss gelten: $ grad f(x,y)=(0,0) $
Dann hat man 4 Fälle:
1.Fall: $ x=0 $ und $y=0 $
2.Fall: $ Ax+2By-C=0 $ und $ y=0 $ daraus folgt $ [mm] x=\frac{C}{A} [/mm] $
3.Fall: $ x=0 $ und $ 2Ax+By-C=0 $ daraus folgt $ [mm] y=\frac{C}{B} [/mm] $
4: Fall: wenn x und y ungleich 0 sind dann bekommt man ein GLS und erhält: $ [mm] x=\frac{C}{3A} [/mm] $ und $ [mm] y=\frac{C}{3B} [/mm] $
Okay dann muss man ja die 4 Fälle in die Hesse-Matrix einsetzen und gucken, was füe ein Extrema vorliegt:
Für die Fälle 1 bis 3 bekommen wir indefinit raus also weder lok. min noch Max.
Für den letzten Fall pos. definit für .$..>0 $ ... ist der Ausruck für die Determinante und für $...< 0 $ nega. definit.
Okay nun zu meiner Frage :)
In der Aufgabenstellung steht,dass es lokale Extrema wohl gibt aber das widerspricht sich dann mit meinen Lösungen.
Kann mir vielleicht jemand bestätigen ob das bis hier her richtig ist oder wo ich mich verrechnet habe ?
Zu Not schreibe ich dann eben doch alles auf.
lg George
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mi 25.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Im 4. Fall hast Du doch Stellen lokaler Extrema !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 25.06.2008 | | Autor: | crashby |
Hey Fred,
ja das stimmt und die andere 3 Fälle stimmen so ?
lg George und Danke sehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Mi 25.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
also ich kriege in den ersten drei Fällen bei der Hesse-Matrix H jeweils
det(H) = [mm] -C^{2} [/mm] raus, womit H negativ semidefinit wäre.
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mi 25.06.2008 | | Autor: | crashby |
Hey,
laut Voraussetzung ist aber $ [mm] A,B,C\in \IR\backslash\{0} [/mm] $
semi definit wäre es doch nur, wenn [mm] $\le [/mm] 0 $ rauskäme oder irre ich mich da?
lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 Mi 25.06.2008 | | Autor: | djmatey |
Oh ja, das hatte ich übersehen, sorry!
Also negativ definit.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 Mi 25.06.2008 | | Autor: | crashby |
Hey djmatey (du bist DJ) ?
also die Fälle 1 bis 3 wären dann geklärt alle negativ definit also haben wir da jeweils ein lokales Maximum vorliegen.
Nun zum 4. Fall:
Ich schreibe erstmal die Hesse-matrix auf:
$ [mm] Hess\; [/mm] f(x,y)= [mm] \pmat{ 2Ay & 2Ax+2yB-C \\ 2Ax+2yB-C & 2Bx }$
[/mm]
bei dem 4. Fall hatte ich die Werte $ [mm] x=\frac{C}{3A} [/mm] $ und $ [mm] y=\frac{C}{3B} [/mm] $ raus.
die Hesse-Matric für den 4.Fall sieht dann so aus:
$ [mm] Hess\; f(\frac{C}{3A},\frac{C}{3B})= \pmat{ \frac{2}{3}\cdot A\cdot \frac{C}{B} & \frac{1}{3} C \\ \frac{1}{3} C &\frac{2}{3}\cdot B\cdot \frac{C}{A} }$
[/mm]
okay als determinatne bekomme ich dann $ [mm] det(H)=\frac{1}{3}\cdot c^2 [/mm] $ das ist ja >0
Nun muss ich noch [mm] $f_{xx} [/mm] $ betrachten.
Für $ [mm] \frac{2}{3}\cdot A\cdot \frac{C}{B} [/mm] >0 $ ist das dann positiv definit also Minimum
Für $ [mm] \frac{2}{3}\cdot A\cdot \frac{C}{B}<0 [/mm] $ negativ definit also Max.
Stimmt das so oder ist das jetzt indefinit weil ja >0 und <0 raus kommt ?
lg
Kann mir mal einer kurz die nötigen kriterien nochmal hinschreiben, denn ich glaube ich bin da noch nicht ganz fit drin
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