Extrema bei Fktn. mit Summenz. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Do 10.01.2008 | | Autor: | tobi- |
| Aufgabe | Sei [mm]n \in \IN[/mm]. Sei die Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] definiert durch
[mm]f(x) := exp(1503-\summe_{k=1}^{n}(15^k-x)^2)-150304[/mm]
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion f. Begründen Sie Ihr Ergebnis |
Probleme macht mir die Nullstelle der ersten Ableitung.
Als erste Ableitung hab ich
[mm]
f'(x)=-2\cdot\summe_{k=1}^{n}(15^k-x) \cdot exp(1503-\summe_{k=1}^{n}(15^k-x)^2)
[/mm]
Da [mm]exp(...) \not= 0[/mm] und -2 sowieso, werden die Nullstellen von [mm]f'(x)[/mm] also durch [mm]\summe_{k=1}^{n}(15^k-x)[/mm] bestimmt.
Intuitiv hätte ich jetzt gesagt, dass [mm]\summe_{k=1}^{n}(15^k-x)=0 \gdw x=15^k[/mm].
Aber die Lösung, die ich vor mir habe (allerdings 'nur' von einem Mitstudi gelöst), sagt, dass
[mm]\summe_{k=1}^{n}(15^k-x)=\summe_{k=1}^n(15^k)-\summe_{k=1}^nx = \summe_{k=1}^n(15^k) - nx = 0 \gdw x=\bruch{1}{n} \cdot \summe_{k=1}^{n}(15^k)[/mm]. Maple bestätigt mir das Ergebnis auch und den Weg dahin kann ich auch nachvollziehen.
Allerdings verstehe ich nicht, wieso meine intuitive Lösung nicht richtig ist. Wenn das eingesetzt wird, wird aus der Summe doch ein 0+0+0..+0. Da hätte ich gerne einen kleinen Denkanstoß. (Hoffentlich habe ich das richtige Forum getroffen. Mit dem Aufgabentyp an sich habe ich ja kein Problem)
Vielen Dank schon einmal im voraus,
tobi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tobi!
Zum einen ist Deine Ableitung faslch. Da muss noch ein Faktor $(-1)_$ als "innerste Ableitung" von [mm] $\left(15^k \ \red{-} \ x\right)$ [/mm] .
Zum anderen übersiehst Du wohl bei Deinem Lösungsansatz, dass $k_$ lediglich eine Zählervariable ist, die die unterschiedlichen Werte von $1_$ bis $n_$ annimmt.
Gruß vom
Roadrunner
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