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| Aufgabe | Im Folgenden wird eine Buche betrachtet, deren Höhenwachstum durch die Funktion f mit
der Gleichung [mm] f(t)=35*(1-e^-0,02*t)^2 [/mm] , modelliert wird.
Der Graph von f ist in der Abbildung 1 dargestellt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Buche zum Zeitpunkt t=50*ln(2) am stärksten wächst. |
Hört sich ja ganz einfach an dachte ich mir. Wenn man das größte Wachstum einer Funktion bestimmen will, muss man ja einfach nur f´gleich null setzen. Wenn ich also dieses t in die 1. Ableitung einsetzte, sollte dort 0 rauskommen. Das tut es aber nicht.. Ebenfalls ist nicht gegeben, dass in diesem Punkt f´´ungleich 0 ist.
Ich habe auch die Lösung dieser Augabe und dort wurde es so bewiesen, dass dieser Punkt in die 2. Ableitung eingesetzt wurde. Aber so würde man ja eine Wendestelle bestimmen, und das hat ja mit de größten Wachstum nichts zu tun...
Kann mir einer hier erklären, wieso man nicht einfach den Punkt in die 1. Ableitung setzen kann ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 04.03.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheschenie!
Die Funktion $f(t)_$ gibt das Wachstum der Buche wider; d.h. es entstehen hier Werte mit der physikalischen Einheit einer Länge (z.B. "Meter").
Es ergibt sich also die Höhe der Buche nach $t_$ Zeiteinheiten (z.B. "Jahren").
Um die Geschwindigkeitsfunktion zu erhalten, muss man $f(t)_$ nach $t_$ ableiten; man erhält $f'(t)_$.
Damit ergeben sich Werte mit der Einheit "Länge je Zeiteinheit".
Da hier nach der maximalen Wachstumsgeschwindigkeit gefragt ist, musst Du das Maximum der Geschwindigkeitsfunktion $f'(t)_$ bestimmen.
Und Extrema der 1. Ableitung ergeben sich duch Nullstellen der 2. Ableitung (= Ableitung der 1. Ableitung).
Nun klar(er)?
Gruß
Loddar
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Ahhh, also muss man durch das erste Ableiten ersteinmal eine solche Geschwindigkeitsfunktion herstellen, sodass quasi das Wachstum pro Zeiteinheit angegeben wird. Und dann durch das zweite Ableiten ganz normal das maximale Wachstum ausgerechnet werden kann ?
Ok danke, nun ist die Aufgabe an sich auch kein Problem mehr. Vielen Dank!
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| Aufgabe | Jemand behauptet, dass die beiden Buchen im Alter von 50 Jahren gemäß den
Modellierungen ihres Höhenwachstums einen Höhenunterschied von mindestens
3,50 m aufweisen müssten. |
Noch eine weitere Frage zur gleichen Thematik. Die Funktionen an sich sind eigentlich egal, da ich keine genaue Lösung brauch. Man hat immernoch die Funktion f(t) und mit dieser kann man auch die größe der Buche nach 50 Jahren leicht ausrechnen.
Nun hat man eben noch die Wachstumsgeschwindigkeit einer weiteren Buche durch die Funktion g´(t) dargestellt. Um zu wissen wie groß die Buche der Funktion g´(t) nach 50 Jahren ist, muss man ja einfach das Integral berechnen und dann hat man das gewünsche Ergebnis ganz einfach raus.
Meine Frage ist jedoch: Wieso kann man nicht einfach die Stammfunktion von g`berechnen und dann für t=50 einsetzen ? Wenn ich das mach kommt nämlich ein anderer Wert raus, als wenn ich die größe mit dem Integral berechne..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Di 04.03.2014 | | Autor: | Theb |
Hallo,
> Jemand behauptet, dass die beiden Buchen im Alter von 50
> Jahren gemäß den
> Modellierungen ihres Höhenwachstums einen
> Höhenunterschied von mindestens
> 3,50 m aufweisen müssten.
> Noch eine weitere Frage zur gleichen Thematik. Die
> Funktionen an sich sind eigentlich egal, da ich keine
> genaue Lösung brauch. Man hat immernoch die Funktion f(t)
> und mit dieser kann man auch die größe der Buche nach 50
> Jahren leicht ausrechnen.
>
> Nun hat man eben noch die Wachstumsgeschwindigkeit einer
> weiteren Buche durch die Funktion g´(t) dargestellt. Um zu
> wissen wie groß die Buche der Funktion g´(t) nach 50
> Jahren ist, muss man ja einfach das Integral berechnen und
> dann hat man das gewünsche Ergebnis ganz einfach raus.
>
> Meine Frage ist jedoch: Wieso kann man nicht einfach die
> Stammfunktion von g'berechnen und dann für t=50 einsetzen
> ? Wenn ich das mach kommt nämlich ein anderer Wert raus,
> als wenn ich die größe mit dem Integral berechne..
Ich würde stark behaupten das du beim Integieren einen fehler gemacht hast. Stichwort: Integrationskonstante?
Eine genauere Aussage ist bei dieser eher schwach ausgeprägten Aufgabenstellung nicht möglich.
Hoffe das hilft.
lg Seb
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Ah genau, die Integrationskonstante am Ende kann natürlich das Ergebnis verändern. Diese kenn ich jedoch nicht. Ok alles gut, habs dann verstanden. Danke !
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