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In meinen Büchern steht:
Bei einem Tiefpunkt ist die Steigung der 1.Ableitung positiv.
Bei einem Hochpunkt ist die Steigung der 1.Ableitung negativ.
(Schilling, Analysis Grund und Leistungskurs mit Finanzmathematik S.194)
Und im Telekolleg Buch:
f' hat an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel vom Positiven ins Negative. Das heißt: An der Stelle eines Maximums hat die Ableitungsfunktion eine fallende Tangente.
Beide Aussagen scheinen mir falsch, denn die Steigung der 1.Ableitung (also die 2.Ableitung) kann bei einem Vorzeichenwechsel doch auch Null sein! Beispiel:
[mm] f(x)=x^4 [/mm]
[mm] f'(x)=4x^3
[/mm]
[mm] f''(x)=12x^2
[/mm]
x=0 ist hier ein Tiefpunkt, aber die oben erwähnte "Steigung der 1.Ableitung" (also die zweite Ableitung) ist gleich Null.
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Hallo,
> In meinen Büchern steht:
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> Bei einem Tiefpunkt ist die Steigung der 1.Ableitung
> positiv.
> Bei einem Hochpunkt ist die Steigung der 1.Ableitung
> negativ.
> (Schilling, Analysis Grund und Leistungskurs mit
> Finanzmathematik S.194)
Das ist so nicht richtig. Es gilt aber jeweils die Umkehrung:
Ist die Steigung der 1. Ableitung positiv, so liegt ein Tiefpunkt vor.
Ist die Steigung der 1. Ableitung negativ, so liegt ein Hochpunkt vor.
(beides natürlich nur, sofern die 1. Ableitung selbst an der betreffenden Stelle Null ist)
> Und im Telekolleg Buch:
> f' hat an dieser Stelle einen Vorzeichenwechsel vom
> Positiven ins Negative. Das heißt: An der Stelle eines
> Maximums hat die Ableitungsfunktion eine fallende Tangente.
Der erste Satz stimmt hier, der zweite nicht.
> Beide Aussagen scheinen mir falsch, denn die Steigung der
> 1.Ableitung (also die 2.Ableitung) kann bei einem
> Vorzeichenwechsel doch auch Null sein! Beispiel:
>
> [mm]f(x)=x^4[/mm]
> [mm]f'(x)=4x^3[/mm]
> [mm]f''(x)=12x^2[/mm]
>
> x=0 ist hier ein Tiefpunkt, aber die oben erwähnte
> "Steigung der 1.Ableitung" (also die zweite Ableitung) ist
> gleich Null.
Genau. Das ist das einfachste Beispiel, mit dem man zeigt, dass die genannten Bedingungen Deiner Bücher nicht korrekt formuliert sind.
Da hast Du gut mitgedacht und die Thematik offenbar auch verstanden.
Glückwunsch!
reverend
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