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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^2 [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=x^3+y^3+\bruch{3}{2}x^2-6x-3y+1 [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR
[/mm]
a) bestimmen sie den gradf(x,y) und alle kritischen Punkte von f
b) bestimmen sie die Hesse matrix
c) bestimmen sie die lokalen Extrema und Sattelpunkte von f |
Hallo,
zu a) Durch partielles Ableiten komme ich auf den Gradienten.
grad [mm] f(x,y)=\vektor{3x^2+\bruch{9}{4}x-6\\3y^2-3}
[/mm]
für den kritischen Punkt setzen wir den gradienten gleich null. Es ergibt sich
y=1 aber bei der ersten Gleichung mache ich glaube ich einen banalen fehler, denn ich bekomme
[mm] x_{1/2}=-3/8\pm \bruch{\wurzel{137}}{8}
[/mm]
das kommt mir merkwürdig vor :-S vor allem brauch ich doch nur ein x oder hab ich da was falsch verstanden.
Sry, ist wahrscheinlich sehr banal
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Hallo Laura87,
> Sei f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=x^3+y^3+\bruch{3}{2}x^2-6x-3y+1[/mm] für alle x,y [mm]\in \IR[/mm]
>
> a) bestimmen sie den gradf(x,y) und alle kritischen Punkte
> von f
>
> b) bestimmen sie die Hesse matrix
>
> c) bestimmen sie die lokalen Extrema und Sattelpunkte von
> f
>
> Hallo,
>
> zu a) Durch partielles Ableiten komme ich auf den
> Gradienten.
>
>
> grad [mm]f(x,y)=\vektor{3x^2+\bruch{9}{4}x-6\\3y^2-3}[/mm]
>
Der Gradient muss hier so lauten:
[mm]\operatorname{grad}f(x,y)=\vektor{3x^2+\red{3}x-6\\3y^2-3}[/mm]
> für den kritischen Punkt setzen wir den gradienten gleich
> null. Es ergibt sich
>
> y=1 aber bei der ersten Gleichung mache ich glaube ich
> einen banalen fehler, denn ich bekomme
>
> [mm]x_{1/2}=-3/8\pm \bruch{\wurzel{137}}{8}[/mm]
>
> das kommt mir merkwürdig vor :-S vor allem brauch ich doch
> nur ein x oder hab ich da was falsch verstanden.
>
> Sry, ist wahrscheinlich sehr banal
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Laura87 |
oh danke für den hinweis 
ein ist mir jetzt aber noch unklar. İch habe x1=1 und x2=-2
Wie schreibe ich den kritischen Punkt auf?
Sind es zwei
[mm] P1_{krit}=\vektor{1\\1} [/mm] und [mm] P1_{krit}=\vektor{-2\\1}
[/mm]
zur b)
Hab das mit der Hessematrix noch nie gemacht. Wenn iche s ricthtig verstanden habe muss ich noch einmal nach x und y ableiten und dann nach beide zusammen:
[mm] H_{f(x)}= \pmat{6x+3& 6\\ 6 & 6y}
[/mm]
richtig?
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Hallo Laura87,
> oh danke für den hinweis
>
> ein ist mir jetzt aber noch unklar. İch habe x1=1 und
> x2=-2
> Wie schreibe ich den kritischen Punkt auf?
>
> Sind es zwei
>
> [mm]P1_{krit}=\vektor{1\\1}[/mm] und [mm]P1_{krit}=\vektor{-2\\1}[/mm]
>
Aus der zweiten Gleichung [mm]3y^{2}-3=0[/mm] bekommst Du 2 y-Werte.
Daher gibt es 4 kritische Punkte.
>
> zur b)
> Hab das mit der Hessematrix noch nie gemacht. Wenn iche s
> ricthtig verstanden habe muss ich noch einmal nach x und y
> ableiten und dann nach beide zusammen:
>
Ja, die Hessematrix ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen.
> [mm]H_{f(x)}= \pmat{6x+3& 6\\ 6 & 6y}[/mm]
Die Werte in der Nebendiagonale stimmen nicht.
>
> richtig?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 21.12.2011 | | Autor: | Laura87 |
die werte müssen 0 sein
zur c) ich muss jetzt die kritischen punkte in die Hesse Matrix einsetzen, aber dann?
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Hallo Laura87,
> die werte müssen 0 sein
>
Ja, das stimmt.
> zur c) ich muss jetzt die kritischen punkte in die Hesse
> Matrix einsetzen, aber dann?
Dann muss Du entscheiden, ob es sich um welche Art
Extrema es sich handelt.
Sicher habt ihr dafür ein Kriterium.
Gruss
MathePower
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