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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Do 14.08.2008 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] - 6xy +6x +3y. Bestimmen Sie die Extrema und Sattelpunkte von f. |
hi,
ich habe dass nun so gelöst:
1. Bilden der partiellen Ableitungen:
[mm] f_{x} [/mm] = [mm] 3x^2-6y+6
[/mm]
[mm] f_{y} [/mm] = 2y - 6x +3
diese dann 0 setzen ergibt:
[mm] 3x^2 [/mm] - 6y+6 = 0
2y - 6x +3 = 0
dann habe ich durch lösen des LGS
[mm] x_{1} [/mm] = 5 und [mm] x_{1} [/mm] = 1 herausbekommen
und für die y-Werte dann
[mm] y_{1} [/mm] = 13,5 und [mm] y_{2} [/mm] = 1,5
Also: (5;13,5) und (1;1,5)
Nun habe ich zur Bestimmung der Art des Extrema nochmals differenziert:
[mm] f_{xx} [/mm] = 6x und [mm] f_{yy} [/mm] = 2
[mm] f_{xx} [/mm] * [mm] f_{yy} [/mm] = [mm] f_{xx}(5;13,5) [/mm] * [mm] f_{yy}(5;13,5) [/mm] = 60
und das war größer als [mm] [f_{xy}]^2 [/mm] , da [mm] f_{xy}(5;13,5) [/mm] = -6 und [mm] [f_{xy}(5;13,5)]^2 [/mm] = 36
Also habe ich an dieser Stelle ein Minimum oder ?
beim 2ten Punkt bin ich analog vorgegangen und habe da
[mm] f_{xx}(1;1,5) [/mm] * [mm] f_{yy}(1;1,5) [/mm] = 12 < 36 = [mm] [f_{xy}(1;1,5)]^2
[/mm]
Also habe ich an der Stelle (1;1,5) einen Sattelpunkt ?
Wäre nett wenn einer drüberschauen könnte und mir sagt obs richtig oder falsch ist.
mfg
meep
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> Sei f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] definiert durch f(x,y) = [mm]x^3[/mm] + [mm]y^2[/mm] -
> 6xy +6x +3y. Bestimmen Sie die Extrema und Sattelpunkte von
> f.
> hi,
hey
>
> ich habe dass nun so gelöst:
>
> 1. Bilden der partiellen Ableitungen:
>
> [mm]f_{x}[/mm] = [mm]3x^2-6y+6[/mm]
>
> [mm]f_{y}[/mm] = 2y - 6x +3
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> diese dann 0 setzen ergibt:
>
> [mm]3x^2[/mm] - 6y+6 = 0
>
> 2y - 6x +3 = 0
>
> dann habe ich durch lösen des LGS
>
> [mm]x_{1}[/mm] = 5 und [mm]x_{1}[/mm] = 1 herausbekommen
>
> und für die y-Werte dann
>
> [mm]y_{1}[/mm] = 13,5 und [mm]y_{2}[/mm] = 1,5
>
> Also: (5;13,5) und (1;1,5)
>
> Nun habe ich zur Bestimmung der Art des Extrema nochmals
> differenziert:
>
> [mm]f_{xx}[/mm] = 6x und [mm]f_{yy}[/mm] = 2
>
> [mm]f_{xx}[/mm] * [mm]f_{yy}[/mm] = [mm]f_{xx}(5;13,5)[/mm] * [mm]f_{yy}(5;13,5)[/mm] = 60
>
> und das war größer als [mm][f_{xy}]^2[/mm] , da [mm]f_{xy}(5;13,5)[/mm] = -6
> und [mm][f_{xy}(5;13,5)]^2[/mm] = 36
>
Ok, also du überprüfst die Hesse-Matrix auf ihre Definitheit. Es ist detHess(5|13,5) >0, das stimmt. Das reicht aber noch nicht zu sagen, dass die Matrix positiv definit ist. Zusätzlich muss noch der Eintrag oben links, also [mm] a_{11} [/mm] >0 sein. Da dies hier der Fall ist liegt dort ein Minimum vor.
> Also habe ich an dieser Stelle ein Minimum oder ?
>
> beim 2ten Punkt bin ich analog vorgegangen und habe da
>
> [mm]f_{xx}(1;1,5)[/mm] * [mm]f_{yy}(1;1,5)[/mm] = 12 < 36 =
> [mm][f_{xy}(1;1,5)]^2[/mm]
>
> Also habe ich an der Stelle (1;1,5) einen Sattelpunkt ?
>
Ein Sattelpunkt liegt vor, falls die Hessematrix indefinit ist. Das ist sie hier auch. Aber es reicht hier m.E. nicht zu zeigen, dass die Determinante kleiner 0 ist.
> Wäre nett wenn einer drüberschauen könnte und mir sagt obs
> richtig oder falsch ist.
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> mfg
>
> meep
>
>
Grüße Patrick
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