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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:20 Fr 01.06.2007 | | Autor: | kittie |
| Aufgabe | Suche ein Beispiel fur:
1. eine stetige Funktion f: [mm] I\subset \IR \to \IR [/mm] mit beschränktem I, die kein Extremum hat.
2. eine Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] die kein Extremum hat.
3. eine stetige Funktion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] die unendlich viele lokale Minima hat.
4. eine offene Überdeckung von (0,1), aus der sich keine endliche Teilüberdeckung auswählen lässt. |
Hallo Mathefreunde,
habe Probleme hier die passenden Beispiele zu finden.
Bei der 2. habe ich Beispielsweise an die Funktionvorschrift f(x)=0 gedacht, die ist ja im Intervall [0,1] stetig und hat unendlich viele Minima(natürlich in diesem fall sind diese auch gleichzeitig Maxima.)
Bei den anderen, finde ich einfach keine Beispiele, die die Voraussetzungen erfüllen. :-(
Und bei 4. habe ich den Begriff der Überdeckung und Teilüberdeckung noch nicht ganz verstanden, da ich aus der in meinem Skript angeführten leider auch nicht schlau werde. Kann mir jemand das in einem mal kurz erklären/verdeutlichen?
DAs wäre alles super nett!
Hoffe auf Hilfe!
Viele liebe grüße, die kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kittie!
Aufgabe 1.
Wie wäre es z.B. mit der [mm] $\tan(x)$-Funktion. [/mm] Sei es nun in einem beschränkten Intervall wie z.B. [mm] $\left] \ -\bruch{\pi}{2} \ ; \ +\bruch{\pi}{2} \ \right[$ [/mm] oder doch aus [mm] $\IR [/mm] \ [mm] \backslash [/mm] \ [mm] \left\{(2k+1)*\bruch{\pi}{2} \ \right\}$ [/mm] .
Aufgabe 2:
Dein genanntes Beispiel scheint zu funktionieren, wobei ich mir nicht sicher bin, ob hier nicht als geforderter Wertebereich ganz [mm] $\IR$ [/mm] gemeint ist.
Allerdings hat $f(x) \ = \ 0$ weder Maxima noch Minima, sondern ist einfach konstant.
Aufgabe 3:
Kombiniere hier doch z.B. etwas aus [mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Sa 02.06.2007 | | Autor: | kittie |
Danke Loddar, für die Hilfe!
Habe jetzt zu aufgabe 1. die Funktion. f: [mm] (\pi/2, \pi/2) \to \IR [/mm] mit f(x)= tan(x) genommen.
zu Aufgabe 2. klappt doch mein Beispiel mit f(x)=0. Diese Funktion hat zwar auf ganz [mm] \IR [/mm] weder Minima noch Maxima, aber somit ja auch insbesondere im geschlossenen Intervall [0,1]? oder mach ich da was falsch.
Habe jetzt zu Aufgabe 3. mal die Funktion f(x)=-1/x sin(1/x) habe die hat ja ja unendlich viele Minima UND Maxima, suche jedoch eine Funktion die ja NUR unendlich viele Minima hat, oder sind nach Aufgabenstellung die Maxima garnicht zu beachten?
Bei Aufgabe 4 habe ich leider immernoch keine Ahnung :-(
Hoffe jemand hilft mir nochmal!
vg, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kittie,
ein kleiner Kommentar zu Deiner Frage mit den unendlich vielen Minima. Denke daran, dass so ein Extremum immer durch sein Verhalten in der Nachbarschaft um diesen Extremwert herum definiert ist. Da, wo es Minima gibt, gibt es normalerweise auch Maxima, wenn man mal von so einfachen Funktionen wie Konstanten absieht. Bei Deiner Aufgabe kommen also durch die Aufgabenstellung die Maxima automatisch mit rein, gefragt ist jedoch nicht danach.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Sa 02.06.2007 | | Autor: | kittie |
ja klar, verstehe, danke!
Also kann ich meine ersten drei Beispiele so nehmen?
Bei aufgabe 4 bin ich allerdings völlig ratlos!
vg, die kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kittie,
ich bin zwar kein Mathematiker, aber die Formulierung der vierten Frage fand ich so interessant, dass ich mich mal etwas auf die Websuche machte. Die Fragestellung, die hinter dieser Aufgabe steht, ist wohl die, dass man versuchen möchte, ein Intervall durch Teilmengen abzudecken, wobei diese sich auch durchaus überschneiden dürfen. Die Vereinigungsmenge all dieser Mengen soll dann im Idealfall das gesamte Intervall abdecken. Mit Mengen der Art (1 - 1/n) ließe sich sowas machen für den Bereich zwischen 0 und 1, man braucht aber unendlich viele davon. Ein Beispiel für die Abdeckung einer Einheitskugel habe ich unter
![[]](/images/popup.gif) http://www.uni-bonn.de/~tack/ana2/Loesungen/loes10.pdf gefunden, das müsste direkt auf Deine vierte Aufgabe übertragbar sein., hoffe ich zumindest.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:11 So 03.06.2007 | | Autor: | kittie |
Vielen dank!
Das habe ich verstanden!
Hab jetzt nur noch eine Frage zu Aufgabe 3: habe mir jetzt da -1/x sin(1/x) genommen, jetzt ist mir nur aufgefallen, dass ich eine STETIGE Funtion f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] mint unendlich vielen lokalen Minima. aber 1/x ist ja garnicht stetig in 0!
Also klappt doch mein Beispiel garnicht!
Könnt ihr mir nochmal helfen?
vg, die kittie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Di 05.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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