Extrema+Sattelpunkt berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] mit
f(x,y)= [mm] (x^2-y^2) [/mm] * exp-(x+y)
Bestimmen sie alle relativen Extrema und Sattelpunkte. |
Meine Frage ist jetzt wie ich bei 2 Variablen vorgehe.Soweit ich mich erinnern kann muss ich glaube ich die partiellen Ableitungen berechnen,oder????
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Hallo
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm] mit
>
> f(x,y)= [mm](x^2-y^2)[/mm] * exp-(x+y)
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> Bestimmen sie alle relativen Extrema und Sattelpunkte.
> Meine Frage ist jetzt wie ich bei 2 Variablen
> vorgehe.Soweit ich mich erinnern kann muss ich glaube ich
> die partiellen Ableitungen berechnen,oder????
Genau, zuerst berechnest du den ![[]](/images/popup.gif) Gradienten der Funktion und am besten gleich noch die zweiten partiellen Ableitungen für später. Der Gradient ist in diesem Fall ein Spaltenvektor mit 2 Einträgen.
Diesen setzt du nun gleich null, erhälst ein GS und bestimmst dessen Lösungen (Notwendig). An diesen Stellen berechnest du nun die Hesse-Matrix [mm] H_{f}. [/mm] Dafür benötigst du die zweiten partiellen Ableitungen. [mm] H_{f} [/mm] ist dann eine 2x2-Matrix. Diese untersuchst du auf Definitheit. Hinreichend ist dann:
ist [mm] H_{f}(x) [/mm] positiv definit, dann ist x ein Minimum
ist [mm] H_{f}(x) [/mm] negativdefinit, dann ist x ein Maximum
ist [mm] H_{f}(x) [/mm] indefinit, dann ist x ein Sattelpunkt
Und das war's.
Viele Grüße und frohe Weihnachten!
Daniel
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Die partielle Ableitungen habe ich glaube ich richtig hinbekommen:
f(x,y)= [mm](x^2-y^2)[/mm] * exp-(x+y)
f'(x)=2x * [-exp-(x-y)]
f''(x)=2 * exp-(x+y)
f'''(x)=-exp-(x+y)
f'(y)=-2y * [-exp-(x+y)]
f''(y)=-2 * exp-(x+y)
f'''(y)=-exp-(x+y)
Kannst du mir bitte mal genau zeigen wie das mit dem Gradienten funktioniert,komme leider mit der Erklärung vom Link nicht klar,danke.
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Hallo und schon mal: frohe Weihnachten! 
> Die partielle Ableitungen habe ich glaube ich richtig
> hinbekommen:
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> f(x,y)= [mm](x^2-y^2)[/mm] * exp-(x+y)
>
> f'(x)=2x * [-exp-(x-y)]
Also, entweder bin ich wieder mal zu blöd, zu vereinfachen, oder du hast da irgendwas falsch gemacht. Du meinst doch sicher die Funktion [mm] f(x,y)=(x^2-y^2)*e^{-(x+y)}. [/mm] Dann musst du für die Ableitung zuerst die Produktregel anwenden, und bei der Ableitung des zweiten Summanden brauchst du dann (wegen der verschachtelten e-Funktion) noch die Kettenregel. Kann es sein, dass du die Produktregel irgendwie vergessen hast?
Naja, dementsprechend wäre dann auch der Rest falsch...
> f''(x)=2 * exp-(x+y)
>
> f'''(x)=-exp-(x+y)
>
> f'(y)=-2y * [-exp-(x+y)]
>
> f''(y)=-2 * exp-(x+y)
>
> f'''(y)=-exp-(x+y)
>
> Kannst du mir bitte mal genau zeigen wie das mit dem
> Gradienten funktioniert,komme leider mit der Erklärung vom
> Link nicht klar,danke.
Der Gradient ist nichts anderes als der Spaltenvektor, der partiellen Ableitungen, wenn man das so sagen darf. In deinem Fall wäre das dann, wie auch schon fast erwähnt wurde, einfach:
[mm] grad(f)=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}} [/mm] - und da setzt du halt nur deine Ableitungen ein.
Übrigens finde ich deine Schreibweise mit f'(x) und f'(y) recht seltsam - bist du sicher, dass man das so schreiben kann?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:21 Sa 24.12.2005 | | Autor: | scientyst |
Ja hast recht.
Meine Ableitungen sind für f(x,y)= [mm](x^2-y^2)[/mm] * exp-(x+y):
f'x(x,y)=exp-(x+y) * [mm] (-x^2+y^2+2x)
[/mm]
f''x(x,y)=exp-(x+y) * [mm] (x^2-y^2-2)
[/mm]
f'y(x,y)=exp-(x+y) * [mm] (-x^2+y^2-2y)
[/mm]
f''y(x,y)=exp-(x+y) * [mm] (x^2-y^2+4y-2)
[/mm]
Hoffe,dass die jetzt richtig sind.
[mm] grad(f)=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}} [/mm]
Wo bekomme ich denn [mm] \partial{f} [/mm] her??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:53 So 25.12.2005 | | Autor: | Loddar |
N'Abend scientyst!
> f'x(x,y)=exp-(x+y) * [mm](-x^2+y^2+2x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> f''x(x,y)=exp-(x+y) * [mm](x^2-y^2-2)[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier habe ich etwas anderes ... ich nehme mal an, dass Du bei den $... \ y$-Termen einen Vorzeichenfehler gemacht hast.
> f'y(x,y)=exp-(x+y) * [mm](-x^2+y^2-2y)[/mm]
> f''y(x,y)=exp-(x+y) * [mm](x^2-y^2+4y-2)[/mm]
Wobei Deine Schreibweise sehr ungewöhnlich ist.
Normalerweise formuliert man z.B. die partielle Ableitung, die 2-mal nach $x_$ abgeleitet wurde als [mm] $f_{xx}(x,y)$ [/mm] (also ohne die die Hochstriche).
> Hoffe,dass die jetzt richtig sind.
>
> [mm]grad(f)=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}}[/mm]
>
> Wo bekomme ich denn [mm]\partial{f}[/mm] her??
Das ist nun einfach eine andere Schreibweise zu Deinen oben ermittelten partiellen Ableitungen.
[mm] $\bruch{\partial f}{\partial x}(x,y)$ [/mm] beschreibt die partielle Ableitung [mm] $f_x(x,y)$ [/mm] (was Du als $f'x(x,y)_$ bezeichnet hast).
[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y) [/mm] \ = \ [mm] f_{xx}(x,y)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Habe den Fehler gefunden,danke.
Der Gradient heisst ja dann [mm]grad(f)=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}}[/mm][mm] =\vektor{ exp-(x+y) * (-x^2+y^2+2x)\\ exp-(x+y) * (-x^2+y^2-2y)}
[/mm]
Wie gehe ich denn jetzt weiter vor,kriege das leider alleine nicht hin.
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Hallo scientyst,
> Habe den Fehler gefunden,danke.
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> Der Gradient heisst ja dann
> [mm]grad(f)=\vektor{\bruch{\partial{f}}{\partial{x}}\\\bruch{\partial{f}}{\partial{y}}}[/mm][mm] =\vektor{ exp-(x+y) * (-x^2+y^2+2x)\\ exp-(x+y) * (-x^2+y^2-2y)}[/mm]
>
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> Wie gehe ich denn jetzt weiter vor,kriege das leider
> alleine nicht hin.
Das Gleichungssystem reduziert sich zu
[mm]
\begin{gathered}
- x^2 \; + \;y^2 \; + \;2\;x\; = \;0 \hfill \\
- x^2 \; + \;y^2 \; - \;2\;y\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
, da [mm]e^{ - \left( {x\; + \;y} \right)} \; > \;0[/mm] für x+y < [mm]\infty[/mm].
Setze den Gradienten von f gleich dem Nullvektor. Dann bekommst Du für x und y-Werte heraus. Diese setzt Du nun in die HesseMatrix (zweite partielle Ableitungen) ein, und prüfst auf Indefinitheit.
Gruß
MathePower
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