Exponentielle Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Sa 19.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Sei X die Lebensdauer einer Glühbirne. Nehmen Sie an, dass X eine mit Parameter [mm] $\frac12 [/mm] $exponentialverteilte Zufallsvariable sei, d.h. die Dichte sieht wie folgt aus:
$f(x) = [mm] \frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot x}$ [/mm] für $x [mm] \geq [/mm] 0$
$f(x) = 0$ für $x < 0$
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt die Glühbirne länger als 10 Jahre?
b) Berechnen sie den Median von X (also den Zeitpunkt an dem die Hälfte der Glühbirne kaputt ist und die andere Hälfte noch funktioniert). |
Ich hab dann mal für Teilaufgabe a) so angefangen:
Erwartungswert: $E(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{x \cdot f(x) dx} [/mm] = ... = 2$
Ich weiß aber ehrlich gesagt jetzt nicht so genau was mir die 2 jetzt sagt...
Könnt ihr mir weiterhelfen?
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Hallo bandchef,
> Sei X die Lebensdauer einer Glühbirne. Nehmen Sie an, dass
> X eine mit Parameter [mm]\frac12 [/mm]exponentialverteilte
> Zufallsvariable sei, d.h. die Dichte sieht wie folgt aus:
>
> [mm]f(x) = \frac{1}{2}\cdot e^{-\frac{1}{2} \cdot x}[/mm] für [mm]x \geq 0[/mm]
>
> [mm]f(x) = 0[/mm] für [mm]x < 0[/mm]
>
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit lebt die Glühbirne
> länger als 10 Jahre?
> b) Berechnen sie den Median von X (also den Zeitpunkt an
> dem die Hälfte der Glühbirne kaputt ist und die andere
> Hälfte noch funktioniert).
>
>
> Ich hab dann mal für Teilaufgabe a) so angefangen:
>
>
> Erwartungswert: [mm]E(x) = \integral_{0}^{x}{x \cdot f(x) dx} = ... = 2[/mm]
>
Hier muss es doch lauten:
[mm]E(x) = \integral_{0}^{\blue{\infty}}{x \cdot f(x) dx} = ... = 2[/mm]
>
> Ich weiß aber ehrlich gesagt jetzt nicht so genau was mir
> die 2 jetzt sagt...
>
Die 2 ist die erwartete Lebensdauer einer Glühbirne in Jahren.
> Könnt ihr mir weiterhelfen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Sa 19.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, wir haben das Integral aber so aufgeschrieben...
Zitat: "Die 2 ist die erwartete Lebensdauer einer Glühbirne in Jahren."
Gut, dann hat also meine Glühbirne eine erwartete Lebensdauer von 2 Jahren. Und wie komm ich da nun auf die Wahrscheinlichkeit, dass sie 10 Jahre hält? Ist das dann die Varianz?
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Hallo bandchef,
> Hm, wir haben das Integral aber so aufgeschrieben...
>
>
> Zitat: "Die 2 ist die erwartete Lebensdauer einer
> Glühbirne in Jahren."
>
> Gut, dann hat also meine Glühbirne eine erwartete
> Lebensdauer von 2 Jahren. Und wie komm ich da nun auf die
> Wahrscheinlichkeit, dass sie 10 Jahre hält? Ist das dann
> die Varianz?
Nein.
Gesucht ist doch die Wahrscheinlichkeit,
daß die Glühbirne länger als 10 Jahre hält.
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann zu:
[mm]P\left(X \ge 10\right)=\integral_{10}^{\infty}f\left(x\right) \ dx[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 So 20.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Hm, ok, das leuchtet soweit ein. Was ich aber nicht verstehe, ist, warum ich in meinem Skript für den Erwartungswert E(x) das hier stehen hab:
$ E(x) = [mm] \integral_{0}^{x}{x \cdot f(x) dx}$ [/mm]
Eben ein Integral von 0 bis x und nicht bis unendlich... Ich hab nun aber bei Wikipedia nachgeschaut und da steht auch, dass die Obergrenze unendlich für den Erwartungswert ist.
Das führt mich aber dann zu der Frage, wie du auf die Idee kommst, dass die gegebene Zahl "10 Jahre" für die zu berechnende Wahrscheinlichkeit die Untergrenze ist...
Ich hab dann mal weitergemacht:
$ [mm] P\left(X \ge 10\right) [/mm] = [mm] \integral_{10}^{\infty} [/mm] f [mm] \left( x \right) [/mm] = [mm] \integral_{10}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x} [/mm] dx = [mm] \alpha \integral_{10}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot e^{-\alpha \cdot x} [/mm] = ...$
Wenn ich ehrlich sein darf, weiß ich an dieser Stelle leider nicht mehr weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 So 20.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich hab dann mal die Rechnung weitergemacht:
$ f(x) = [mm] \int_{10}^{\infty} [/mm] f [mm] \left( x \right) [/mm] = [mm] \int_{10}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot \frac12 \cdot e^{- \frac12 \cdot x} [/mm] dx = [mm] \frac12 \int_{10}^{\infty} [/mm] x [mm] \cdot e^{- \frac12 \cdot x} [/mm] = [mm] \lim_{b \to \infty} \frac12 \int_{10}^{b} [/mm] x [mm] \cdot e^{- \frac12 \cdot x} [/mm] = ... = [mm] \lim_{b \to \infty} \frac12 \left[ -2e^{-\frac12x}x - 2e^{-\frac12x} \right]_{10}^{b} [/mm] = [mm] \frac12 \lim_{b \to \infty} \left[ -2e^{-\frac12x} \left(x - 1\right) \right]_{10}^{b} [/mm] = [mm] \frac12 \lim_{b \to \infty} \left( \underbrace{-2e^{-\frac12b} \left(b - 1\right)}_{\to 0} + 2e^{-5}\cdot9\right) [/mm] = [mm] \frac12 \left( 2e^{-5}\cdot9 \right) \Rightarrow [/mm] 6,1 [mm] \%$
[/mm]
Stimmt das Ergebnis?
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Hallo bandchef,
> Ich hab dann mal die Rechnung weitergemacht:
>
>
> [mm]f(x) = \int_{10}^{\infty} f \left( x \right) = \int_{10}^{\infty} x \cdot \frac12 \cdot e^{- \frac12 \cdot x} dx = \frac12 \int_{10}^{\infty} x \cdot e^{- \frac12 \cdot x} = \lim_{b \to \infty} \frac12 \int_{10}^{b} x \cdot e^{- \frac12 \cdot x} = ... = \lim_{b \to \infty} \frac12 \left[ -2e^{-\frac12x}x - 2e^{-\frac12x} \right]_{10}^{b} = \frac12 \lim_{b \to \infty} \left[ -2e^{-\frac12x} \left(x - 1\right) \right]_{10}^{b} = \frac12 \lim_{b \to \infty} \left( \underbrace{-2e^{-\frac12b} \left(b - 1\right)}_{\to 0} + 2e^{-5}\cdot9\right) = \frac12 \left( 2e^{-5}\cdot9 \right) \Rightarrow 6,1 \%[/mm]
>
> Stimmt das Ergebnis?
Nein, da das die falsche Formel ist.
Die richtige Formel lautet:
[mm]\int_{10}^{\infty} f \left( x \right) = \int_{10}^{\infty} \cdot \frac12 \cdot e^{- \frac12 \cdot x} dx [/mm]
Übrigens kannst Du auch stattdessen
[mm]\int_{10}^{\infty} f \left( x \right) = 1-\int_{0}^{10} \cdot \frac12 \cdot e^{- \frac12 \cdot x} dx [/mm]
berechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 So 20.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich komm da nun auf eine Wahrscheinlichkeit von [mm] $1+e^{-5} [/mm] = 1,0674 [mm] \Rightarrow 100,674\%$. [/mm] Sollte da nicht was wesetnlich unter 100% rauskommen?
Wenn ich das Integral mit dem limes berechne, dann komm ich auf 6,74% was mir schon vorstellbar ist. Wenn ich vom oberen Ergebnis 100% abziehe komme ich auch so drauf. Ich denke, das sollte dann schon richtig sein.
Wie berechne ich nun den Median von X? Also quasi der Zeitpuntk an dem die Glühbirne zur Hälfte kaputt ist...
Laut Wikipedia, muss ich für diesen Median das hier anwenden:
$ F(x) = 1 - [mm] e^{-\lambda x}$ [/mm] für $x [mm] \geq [/mm] 0.$
Aber wo setze ich da mein gegebenes f(x) ein?
Außerdem hab ich gelesen, dass die Exponentialverteilung ihren Median bei [mm] $\tilde{x} [/mm] = [mm] \frac{\ln 2}{\lambda}$ [/mm] hat. Aber was ist in meiner gegebenen Funktion f(x) das [mm] $\lambda$? [/mm] Ist das [mm] $\frac12$? [/mm] Wenn ich nun [mm] $\tilde{x} [/mm] = [mm] \frac{\ln 2}{\lambda} [/mm] = [mm] \frac{ln(2)}{\frac12} [/mm] = 2 [mm] \cdot [/mm] ln(2)$ berechen, komm ich auf [mm] $\approx [/mm] 1,39 [mm] \Rightarrow 139\%$. [/mm] Muss ich da dann wieder 100% abziehen?
Was ist nun für den Median der richtige Ansatz?
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Hallo bandchef,
> Ich komm da nun auf eine Wahrscheinlichkeit von [mm]1+e^{-5} = 1,0674 \Rightarrow 100,674\%[/mm].
Da hast Du Dich bei der Auswertung verrechnet.
> Sollte da nicht was wesetnlich unter 100% rauskommen?
>
Ja, 0,674 % ist richtig.
> Wenn ich das Integral mit dem limes berechne, dann komm ich
> auf 6,74% was mir schon vorstellbar ist. Wenn ich vom
> oberen Ergebnis 100% abziehe komme ich auch so drauf. Ich
> denke, das sollte dann schon richtig sein.
>
>
> Wie berechne ich nun den Median von X? Also quasi der
> Zeitpuntk an dem die Glühbirne zur Hälfte kaputt ist...
>
>
>
> Laut Wikipedia, muss ich für diesen Median das hier
> anwenden:
>
> [mm]F(x) = 1 - e^{-\lambda x}[/mm] für [mm]x \geq 0.[/mm]
>
> Aber wo setze ich da mein gegebenes f(x) ein?
>
>
Hier setzt Du zunächst für [mm]\lambda=\bruch{1}{2}[/mm] ein.
Dann löst Du F(x)=0,5.
>
> Außerdem hab ich gelesen, dass die Exponentialverteilung
> ihren Median bei [mm]\tilde{x} = \frac{\ln 2}{\lambda}[/mm] hat.
> Aber was ist in meiner gegebenen Funktion f(x) das [mm]\lambda[/mm]?
> Ist das [mm]\frac12[/mm]? Wenn ich nun [mm]\tilde{x} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \frac{ln(2)}{\frac12} = 2 \cdot ln(2)[/mm]
> berechen, komm ich auf [mm]\approx 1,39 \Rightarrow 139\%[/mm]. Muss
Die Zufallsvariable X sind doch in Jahren gegeben.
Der Median beträgt somit 1,39 Jahre.
> ich da dann wieder 100% abziehen?
>
Nein, da musst Du gar nichts abziehen.
> Was ist nun für den Median der richtige Ansatz?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 So 20.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Ich soll also in $ F(x) = 1 - [mm] e^{-\lambda x} [/mm] $ für $ x [mm] \geq [/mm] 0 $, [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \frac12$ [/mm] setzen.
Wie kommst du dann aber auf F(x) = 0,5? Ich hab grad verstanden, dass das ja eigentlich die Verteilungsfunktion ist und doch eigentlich nichts mit dem Median zu tun haben dürfte, oder?
Wie aber kommt man dann auf diese Formel für den Median? Oder muss man das einfach als gegeben Voraussetzen? $ [mm] \tilde{x} [/mm] = [mm] \frac{\ln 2}{\lambda} [/mm] $
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:07 Mo 21.05.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Erklärung was der Median ist, warum Du die Fleichung [mm] F(x)=\bruch{1}{2} [/mm] lösen musst und wie Du auf [mm] m=\bruch{ln 2}{\lambda} [/mm] kommst findest Du hier
![[]](/images/popup.gif) hier
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Hallo bandchef,
> Hm, ok, das leuchtet soweit ein. Was ich aber nicht
> verstehe, ist, warum ich in meinem Skript für den
> Erwartungswert E(x) das hier stehen hab:
>
> [mm]E(x) = \integral_{0}^{x}{x \cdot f(x) dx}[/mm]
>
> Eben ein Integral von 0 bis x und nicht bis unendlich...
> Ich hab nun aber bei Wikipedia nachgeschaut und da steht
> auch, dass die Obergrenze unendlich für den Erwartungswert
> ist.
>
Vielleicht ist das in Deinem Skript nur ein Flüchtigkeitsfehler.
> Das führt mich aber dann zu der Frage, wie du auf die Idee
> kommst, dass die gegebene Zahl "10 Jahre" für die zu
> berechnende Wahrscheinlichkeit die Untergrenze ist...
>
Es ist nach der Wahrscheinlichkeit gefragt,
daß eine Glühlampe länger als 10 Jahre lebt.
>
>
> Ich hab dann mal weitergemacht:
>
> [mm]P\left(X \ge 10\right) = \integral_{10}^{\infty} f \left( x \right) = \integral_{10}^{\infty} x \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot x} dx = \alpha \integral_{10}^{\infty} x \cdot e^{-\alpha \cdot x} = ...[/mm]
>
> Wenn ich ehrlich sein darf, weiß ich an dieser Stelle
> leider nicht mehr weiter...
Gruss
MathePower
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