Exponentialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Mi 20.08.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Die Dauer eines Telefongespräches gemsessen in Minuten sei expoentialverteilt mit der Dichte
f(x) = [mm] \bruch{1}{5}e^{-x/5}, [/mm] x>0.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der die Dauer eines Gespräches unter 3 Miuten liegt. |
T sei die Dauer des Gespräches, T ~ Exponential [mm] (\bruch{1}{5})
[/mm]
Gesucht ist also P(T [mm] \le [/mm] 3) = [mm] F_T(3) [/mm] , wobei [mm] F_T [/mm] die Verteilungsfunktion darstellt.
[mm] F_T(x) [/mm] erhalte ich doch, wenn ich [mm] \integral{\bruch{1}{5}e^{-x/5}*dx} [/mm] ausrechne, oder?
So erhalte ich dann [mm] F_T(x) [/mm] = [mm] -e^{-x/5} [/mm] und also für [mm] F_T(3) [/mm] = [mm] -e^{-3/5}.
[/mm]
Doch laut Lösung, sollte ich [mm] F_T(3) [/mm] = 1 - [mm] e^{-3/5} [/mm] erhalten.
Doch mir ist nicht klar, weshalb da noch eine "1" auftaucht...!
Kann mir das jemand erklären?
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Hallo,
> Die Dauer eines Telefongespräches gemsessen in Minuten sei
> expoentialverteilt mit der Dichte
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> f(x) = [mm]\bruch{1}{5}e^{-x/5},[/mm] x>0.
>
> Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der die Dauer eines
> Gespräches unter 3 Miuten liegt.
> T sei die Dauer des Gespräches, T ~ Exponential
> [mm](\bruch{1}{5})[/mm]
>
> Gesucht ist also P(T [mm]\le[/mm] 3) = [mm]F_T(3)[/mm] , wobei [mm]F_T[/mm] die
> Verteilungsfunktion darstellt.
>
> [mm]F_T(x)[/mm] erhalte ich doch, wenn ich
> [mm]\integral{\bruch{1}{5}e^{-x/5}*dx}[/mm] ausrechne, oder?
> So erhalte ich dann [mm]F_T(x)[/mm] = [mm]-e^{-x/5}[/mm] und also für [mm]F_T(3)[/mm]
> = [mm]-e^{-3/5}.[/mm]
> Doch laut Lösung, sollte ich [mm]F_T(3)[/mm] = 1 - [mm]e^{-3/5}[/mm]
> erhalten.
> Doch mir ist nicht klar, weshalb da noch eine "1"
> auftaucht...!
> Kann mir das jemand erklären?
Bei der Exponentialverteilung bekommst Du, wenn Du die Wahrscheinlichkeitsdichte unbestimmt integrierst ja noch eine Konstante C hinzu. Die musst Du noch bestimmen:
Es muss gelten [mm] \limes_{x \to \infty}F_t(x)=1 [/mm] (sicheres Ereignis).
Ohne die 1 bekämst Du ja negative Wahrscheinlichkeiten, und die gibt's ja nicht.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:22 Do 21.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Die Dauer eines Telefongespräches gemsessen in Minuten sei
> expoentialverteilt mit der Dichte
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{5}e^{-x/5},[/mm] x>0.
>
> Bestimme die Wahrscheinlichkeit, mit der die Dauer eines
> Gespräches unter 3 Miuten liegt.
> T sei die Dauer des Gespräches, T ~ Exponential
> [mm](\bruch{1}{5})[/mm]
>
> Gesucht ist also P(T [mm]\le[/mm] 3) = [mm]F_T(3)[/mm] , wobei [mm]F_T[/mm] die
> Verteilungsfunktion darstellt.
>
> [mm]F_T(x)[/mm] erhalte ich doch, wenn ich
> [mm]\integral{\bruch{1}{5}e^{-x/5}*dx}[/mm] ausrechne, oder?
[mm] $F_T(3)=P(T\le 3)=P(T\in (0,3])=\int_{(0,3]} [/mm] f(x)\ [mm] dx=\integral_0^3{\bruch{1}{5}e^{-x/5}\ dx}$
[/mm]
[mm] $e^{0}=1$, [/mm] da kommt die 1 her. Die Erklärung in der anderen Antwort läuft natürlich auf's gleiche raus.
[mm] $P(X\in A)=\int_A [/mm] f(x)\ dx,\ [mm] \forall [/mm] A$, das ist die Charakterisierung einer Dichte von X - unter gewissen Voraussetzungen an A und f natürlich. =)
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Do 21.08.2008 | | Autor: | jokerose |
Super, jetzt ist alles klar. Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 21.08.2008 | | Autor: | jokerose |
ich habe doch noch eine kurze Frage zu dieser Aufgabe:
>
> [mm]F_T(3)=P(T\le 3)=P(T\in (0,3])=\int_{(0,3]} f(x)\ dx=\integral_0^3{\bruch{1}{5}e^{-x/5}\ dx}[/mm]
>
> [mm]e^{0}=1[/mm], da kommt die 1 her.
Für die Verteilungsfuktion schreibt man ja eigentlich [mm] F_T(x) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{t}{f(x) dx}. [/mm] Da aber hier die Funktion nur für x>0 definiert ist, reicht es also nur über [mm] \integral_{0}^{t}{f(x) dx} [/mm] zu integrieren. Kann man das so sagen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Do 21.08.2008 | | Autor: | Blech |
> Für die Verteilungsfuktion schreibt man ja eigentlich
> [mm]F_T(x)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{t}{f(x) dx}.[/mm] Da aber hier die
> Funktion nur für x>0 definiert ist, reicht es also nur über
> [mm]\integral_{0}^{t}{f(x) dx}[/mm] zu integrieren. Kann man das so
> sagen?
Ja. Die Verteilungsfunktion ist definiert durch
[mm] $F(x):=P(X\le [/mm] x)$
und jetzt mußt Du Dir überlegen, was [mm] $\{X\le x\}$ [/mm] für ein Intervall ist, für das unser f definiert ist. Da hier X auf jeden Fall positiv ist, weiß man also [mm] $\{X\le x\} [/mm] = [mm] \{X\in (0,x]\}$. [/mm] Und darüber integrierst Du dann.
(tricky: [mm] $\{X\le x\} =\{X\in (-\infty,x]\}$ [/mm] stimmt natürlich auch, aber strenggenommen können wir [mm] $P(X\in (-\infty,x])$ [/mm] nicht berechnen, weil unsere Dichte auf der negativen Achse nicht definiert ist. Praktisch kannst Du die Dichtefunktion außerhalb ihres Definitionsbereichs auch einfach gleich 0 setzen.
Mit der Indikatorfunktion geschrieben, sieht das für die Exponentialverteilung dann so aus:
[mm] $f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \mathbf{1}_{(0,\infty)}(x)$
[/mm]
Wenn Du jetzt von [mm] $-\infty$ [/mm] bis x integrierst, ist f für x<0 einfach 0 und der Teil fällt damit weg.)
Wenn Du Dir intuitiv überlegst, was Sinn ergibt, solltest Du fast immer auf das richtige Ergebnis kommen =)
ciao
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 01.09.2008 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Wie gross wäre dann die Wahrscheinlichkeit für eine Gesprächsdauer von genau 5 Minuten?
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Hierzu muss ich doch [mm] F_T(x) [/mm] gar nicht ausrechnen und kann doch nur f(5) = [mm] \bruch{1}{5}*e^{-5/5} [/mm] ausrechnen, oder?
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Hallo,
> Wie gross wäre dann die Wahrscheinlichkeit für eine
> Gesprächsdauer von genau 5 Minuten?
>
>
> Hierzu muss ich doch [mm]F_T(x)[/mm] gar nicht ausrechnen und kann
> doch nur f(5) = [mm]\bruch{1}{5}*e^{-5/5}[/mm] ausrechnen, oder?
Ja, schon, würde ich sagen.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mo 01.09.2008 | | Autor: | jokerose |
Wie sicher bist du dir?
Ich wäre nämlich froh, wenn ich eine 100%ige Zustimmung erhalten würde...! 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Mo 01.09.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Wie sicher bist du dir?
> Ich wäre nämlich froh, wenn ich eine 100%ige Zustimmung
> erhalten würde...!
Das ist leider falsch, die W'keit ist (wie schon gesagt) 0.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 01.09.2008 | | Autor: | luis52 |
> Wie gross wäre dann die Wahrscheinlichkeit für eine
> Gesprächsdauer von genau 5 Minuten?
Die Wahrscheinlichkeit ist Null:
[mm] $0=\int_5^5\bruch{1}{5}*e^{-x/5}\,dx$
[/mm]
Das liegt daran, dass du es hier mit einer stetigen Verteilung zu tun hast
>
>
> Hierzu muss ich doch [mm]F_T(x)[/mm] gar nicht ausrechnen und kann
> doch nur f(5) = [mm]\bruch{1}{5}*e^{-5/5}[/mm] ausrechnen, oder?
Die Dichte gibt keine Wahrscheinlichkeiten an! Sie kann sogar Werte $>1$ annehmen. Betrachte beispielsweise die Dichte $f$ mit $f(x)=2$ fuer $0<x<1/2$ und $f(x)=0$ sonst.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mo 01.09.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Wahrscheinlichkeit ist Null:
>
> [mm]0=\int_5^5\bruch{1}{5}*e^{-x/5}\,dx[/mm]
Obwohl ich von dem Stoff und der obigen Formel NULL AHNUNG habe, hätte ich intuitiv genau die gleiche Antwort gegeben.
Denn: was sind genau fünf Minuten? Das sind 5,0000000 Minuten. Da darf also keine Milliardenstel Sekunde mehr oder weniger sein. Und dass ein Gespräch auf die Milliardenstel Sekunde genau fünf Minuten dauert, das ist schon so gut wie ausgeschlossen.
Also kann man nur fragen: "Wie groß ist, Wahrscheinlichkeit, dass ein Gespräch zwischen .... und ... Sekunden dauert?"
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