Exponentialverteilung < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine Zufallsvariable heißt exponentialverteilt, wenn sie die Dichte
[mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \lambda*e^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t \ge{0} \end{cases}
[/mm]
hat. Dies kann genutzt werden, um Lebensdauern zu modellieren: X ist dann die Wartezeit bis zu einem Ausfall
Rechnen Sie nach: Für alle Zeiten t und beliebige h>0 gilt
[mm] P(X\ge{t+h}|X\ge{t})=P(X\ge{h})
[/mm]
und erläutern Sie, warum man Exponentialverteilungen "gedächtnislos" nennt. Was bedeutet das bzgl. Modellierung von Lebendsdauern? |
[mm] P(X\ge{h})=P(0\le{X}\ge{h})=\integral_{0}^{h}{f(t) dt}=\integral_{0}^{h}{ \lambda*e^{-\lambda*t}dt}=1-e^{-\lambda*h}
[/mm]
wie bestimme ich diese Wahrscheinlichkeit [mm] P(X\ge{t+h}|X\ge{t})?
[/mm]
Wofür steht das senkrechte strich?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Mo 29.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Eine Zufallsvariable heißt exponentialverteilt, wenn sie
> die Dichte
>
> [mm]f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ -\lambda*e^{-\lambda*t}, & \mbox{für } t \ge{0} \end{cases}[/mm]
>
> hat. Dies kann genutzt werden, um Lebensdauern zu
> modellieren: X ist dann die Wartezeit bis zu einem Ausfall
>
> Rechnen Sie nach: Für alle Zeiten t und beliebige h>0
> gilt
>
> [mm]P(X\ge{t+h}|X\ge{t})=P(X\ge{h})[/mm]
>
> und erläutern Sie, warum man Exponentialverteilungen
> "gedächtnislos" nennt. Was bedeutet das bzgl. Modellierung
> von Lebendsdauern?
> [mm]P(X\ge{h})=P(0\le{X}\ge{h})=\integral_{0}^{h}{f(t) dt}=\integral_{0}^{h}{ -\lambda*e^{-\lambda*t}dt}=1-e^{-\lambda*h}[/mm]
>
> wie bestimme ich diese Wahrscheinlichkeit
> [mm]P(X\ge{t+h}|X\ge{t})?[/mm]
>
> Wofür steht das senkrechte strich?
Hallo,
es geht um bedingte Wahrscheinlichkeit.
P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A für den Fall, dass B schon eingetreten ist.
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> es geht um bedingte Wahrscheinlichkeit.
> P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A für den Fall,
> dass B schon eingetreten ist.
Es gilt:
[mm] P(A|B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}
[/mm]
P(B) wäre in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit [mm] P(X\ge{t})=P(0\le{X}\ge{t})
[/mm]
aber was wäre [mm] P(A\cap [/mm] B) in diesem Fall für eine Wahrscheinlichkeit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mo 29.12.2014 | | Autor: | abakus |
> > es geht um bedingte Wahrscheinlichkeit.
> > P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A für den Fall,
> > dass B schon eingetreten ist.
>
> Es gilt:
>
> [mm]P(A|B)=\bruch{P(A\cap B)}{P(B)}[/mm]
>
> P(B) wäre in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit
> [mm]P(X\ge{t})=P(0\le{X}\ge{t})[/mm]
>
> aber was wäre [mm]P(A\cap[/mm] B) in diesem Fall für eine
> Wahrscheinlichkeit?
Woraus besteht denn die UND-Verknüpfung von
[mm] $(X\ge{t+h} [/mm] $ und $ [mm] X\ge{t})$?
[/mm]
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> Woraus besteht denn die UND-Verknüpfung von
> [mm](X\ge{t+h} [/mm] und [mm] X\ge{t})[/mm]?
[mm] P(t+h\le{X}\le{\infty})
[/mm]
wäre das so richtig?
> P(B) wäre in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit [mm] P(X\ge{t})=P(0\le{X}\ge{t})
[/mm]
das müsste falsch sein wenn ich mich nicht irre. richtig wäre
[mm] P(X\ge{t})=P(t\le{X}\le{\infty})
[/mm]
> [mm] P(X\ge{h})=P(0\le{X}\ge{h})=\integral_{0}^{h}{f(t) dt}=\integral_{0}^{h}{ \lambda*e^{-\lambda*t}dt}=1-e^{-\lambda*h}
[/mm]
das müsste auch falsch sein. richtig wäre:
[mm] P(X\ge{h})=P(h\le{X}\le{\infty})=\integral_{h}^{\infty}{f(t) dt}
[/mm]
liege ich damit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Di 30.12.2014 | | Autor: | luis52 |
> [mm]P(X\ge{h})=P(h\le{X}\le{\infty})=\integral_{h}^{\infty}{f(t) dt}[/mm]
>
> liege ich damit richtig?
Fast: [mm]P(X\ge{h})=P(h\le{X}\red{<}{\infty})[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mo 29.12.2014 | | Autor: | luis52 |
Moin, muss es nicht heissen
$ [mm] f(t)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } t<0 \\ \lambda\cdot{}e^{-\lambda\cdot{}t}, & \mbox{für } t \ge{0} \end{cases} [/mm] $
?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Mo 29.12.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
ja du hast recht. ich habs korrigiert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mo 29.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo arbeitsamt!
Ich empfehle dir weiterhin die Grundlagen zu wiederholen!
Sei [mm] X\sim\exp(\lambda) [/mm] mit [mm] \lambda>0. [/mm] Für alle [mm] $h>0\$ [/mm] ist zu zeigen
[mm] $P(X\ge h+t\mid X\ge t)=P(X\ge [/mm] h)$.
1. Die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung ist
[mm] F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & \mbox{für } t\ge 0 \\ 0, & \mbox{für } t<0 \end{cases}.
[/mm]
2. Mach dir klar, dass folgendes gilt:
[mm] $P(X\ge h+t{,}X\ge t)=P(X\ge [/mm] h+t)$.
(Das Komma steht für 'und' bzw. für den mengentheoretischen Schnitt.)
3. Für alle $h>0$ erhalten wir
[mm] $P(X\ge h+t\mid X\ge t)=\frac{P(X\ge h+t{,}X\ge t)}{P(X\ge t)}=\frac{P(X\ge h+t)}{P(X\ge t)}=\frac{1-P(X\le h+t)}{1-P(X\le t)}=\frac{1-(1-e^{-\lambda(h+t)})}{1-(1-e^{-\lambda t})}=\frac{e^{-\lambda(h+t)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda h}.
[/mm]
4. Was ist [mm] $P(X\ge [/mm] h)$ für $h>0$?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:37 Di 30.12.2014 | | Autor: | arbeitsamt |
Hallo DieAcht,
> 3. Für alle [mm]h>0[/mm] erhalten wir
>
> [mm]$P(X\ge h+t\mid X\ge t)=\frac{P(X\ge h+t{,}X\ge t)}{P(X\ge t)}=\frac{P(X\ge h+t)}{P(X\ge t)}=\frac{1-P(X\le h+t)}{1-P(X\le t)}=\frac{1-(1-e^{\lambda(h+t)})}{1-(1-e^{\lambda t})}=\frac{e^{\lambda(h+t)}}{e^{\lambda t}}=e^{\lambda h}.[/mm]
>
das stimmt mit meiner rechnung fast überein. mein exponent ist aber negativ:
ich betrachte nur den Zähler:
[mm]P(X\ge{t+h} [/mm] und [mm] X\ge{t})[/mm][mm] =P(t+h\le{X}\le{\infty})=\integral_{t+h}^{\infty}{\lambda*e^{-\lambda*t} dt}=[-e^{-\lambda*t}]_{t+h}^{\infty}=e^{-\lambda*\infty}+e^{-\lambda*(t+h)}=e^{-\lambda*(t+h)}
[/mm]
kann es sein, dass das vorzeichen bei deiner lösung falsch ist?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:24 Di 30.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Du hast Recht, danke! Ich habe die Vorzeichen vergessen.
Es ist nun überarbeitet.
Gruß
DieAcht
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