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| Aufgabe | Es sei [mm] (a_n)_{n\in \In} [/mm] eine komplexe Folge mit [mm] |a_n| \not= [/mm] 0 für fast alle [mm] n\in \IN. [/mm] Man zeige: Existiert [mm] \rho \in \IN [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\rho, [/mm] dann ist [mm] \rho [/mm] der Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_n a_n z^n [/mm] und für [mm] \rho [/mm] > 0 gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}= \rho^{-1}. [/mm] |
In einer langen Diskussion sind wir heute zu folgendem Schluss gekommen:
Wenn man zeigen will, dass eine Zahl [mm] \rho [/mm] der Konvergenzradius einer Potenzreihe ist, genügt es zu zeigen, dass diese Zahl dieselben Eigenschaften wie der Konvergenzradius hat, d.h. für z < [mm] \rho [/mm] muss die Potenzreihe konvergieren und für z > [mm] \rho [/mm] muss die Potenzreihe divergieren.
Ich würde jetzt auf die gesamte Reihe das Quotientenkriterium anwenden, dann kann man die Definition von [mm] \rho [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|} [/mm] benutzen und diese Eigenschaften zeigen.
Stimmt der Ansatz ???
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| Aufgabe | | Man berechne den Konvergenzradius der Reihe [mm] \summe_k b_k z^k [/mm] für [mm] b_n [/mm] := [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] mit Hilfe von Teil b) und folgere [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] =e |
Hier schonmal der letzte Teil. Ich hab ihn noch nicht gemacht, weil ja noch die b) fehlt, daher ist er momentan nur Vollständigkeitshalber drin.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:47 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man berechne den Konvergenzradius der Reihe [mm]\summe_k b_k z^k[/mm]
> für [mm]b_n[/mm] := [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm] mit Hilfe von Teil b) und
> folgere [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}[/mm]
> =e
> Hier schonmal der letzte Teil. Ich hab ihn noch nicht
> gemacht, weil ja noch die b) fehlt, daher ist er momentan
> nur Vollständigkeitshalber drin.
naja, mit dem vorangegangenen Teil ist das einfach:
Die Reihe hat nach diesem Teil den Konvergenzradius (unter dem Limes ist stets $n [mm] \to \infty$ [/mm] hinzuzudenken)
[mm] $$\lim \left(\frac{n^n}{n!}*\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\right)\,,$$
[/mm]
was man zu
[mm] $$1/\lim(1\;+1/n)^n$$
[/mm]
umschreiben kann (das ist elementares Rechnen und Anwedung bekannter Rechenregeln für konvergente Folgen - ich habe es heute schon mehrmals gesehen und auch selber mal vorgerechnet, was Du auch siehst, wenn Du ein wenig im Forum danach stöberst). Letzteres ist aber gerade [mm] $=1/e\,.$
[/mm]
Zudem kann man den Konvergenzradius aber auch nach Cauchy-Hadamard zu
[mm] $$1/\left(\text{limsup} \sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}\right)=1/\left(\lim \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right)$$
[/mm]
berechnen. Daraus folgt dann die Behauptung.
P.S.:
Nochmal kurz zu dem anderen Teil:
Bei einer Potenzreihe (mit Mittelpunkt [mm] $z_0=0$) [/mm] der Form [mm] $\sum a_k z^k$ [/mm] sind Deine Überlegungen mit $|z| < [mm] \rho$ [/mm] und $|z| > [mm] \rho$ [/mm] bzgl. des Konvergenzradius richtig. Aber bei einer PR der Form [mm] $\sum a_k (z-z_0)^k$ [/mm] (hier also Mittelpunkt [mm] $z_0$ [/mm] nicht notwendig [mm] $=0\,$) [/mm] müßtest Du natürlich analoges mit [mm] $|z-z_0| [/mm] < [mm] \rho$ [/mm] bzw. $> [mm] \rho$ [/mm] formulieren.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei [mm](a_n)_{n\in \In}[/mm] eine komplexe Folge mit [mm]|a_n| \not=[/mm]
> 0 für fast alle [mm]n\in \IN.[/mm] Man zeige: Existiert [mm]\rho \in \IN[/mm]
> mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}=\rho,[/mm]
> dann ist [mm]\rho[/mm] der Konvergenzradius der Reihe [mm]\summe_n a_n z^n[/mm]
> und für [mm]\rho[/mm] > 0 gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{|a_n|}= \rho^{-1}.[/mm]
>
> In einer langen Diskussion sind wir heute zu folgendem
> Schluss gekommen:
>
> Wenn man zeigen will, dass eine Zahl [mm]\rho[/mm] der
> Konvergenzradius einer Potenzreihe ist, genügt es zu
> zeigen, dass diese Zahl dieselben Eigenschaften wie der
> Konvergenzradius hat, d.h. für z < [mm]\rho[/mm] muss die
> Potenzreihe konvergieren und für z > [mm]\rho[/mm] muss die
> Potenzreihe divergieren.
anstatt $z < [mm] \rho$ [/mm] sollte da $|z| < [mm] \rho$ [/mm] stehen, analoges für $z > [mm] \rho$ [/mm] (also auch dort $|z| > [mm] \rho$).
[/mm]
> Ich würde jetzt auf die gesamte Reihe das
> Quotientenkriterium anwenden, dann kann man die Definition
> von [mm]\rho[/mm] := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|a_n|}{|a_{n+1}|}[/mm]
> benutzen und diese Eigenschaften zeigen.
>
> Stimmt der Ansatz ???
Der Ansatz schon. Ich bin mir gerade nicht sicher, ob das mit dem Quotientenkriterium so einfach geht bzw. wie Du das nun genau meinst? Aber das sehe ich, wenn ich's mir hinschreibe (oder Du es mir hinschreibst  ).
Das ganze sollte dann wohl so wie ![[]](/images/popup.gif) hier Im Beweis zu Satz 6.19 aussehen - beachte auch Bemerkung 6.20.
Gruß,
Marcel
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