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Exponentialgleichungen: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:35 Sa 12.02.2005
Autor: PPP

Hallo

Wie löse ich diese  Exponentialgleichung:

[mm] 2^{2x+5}-3*2^{x+2}+1=0 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Exponentialgleichungen: Ergänzung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:42 Sa 12.02.2005
Autor: PPP

Bitte mit dem Substitutionsverfahren Lösen!
Bezug
        
Bezug
Exponentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Sa 12.02.2005
Autor: Andi

Hallo PPP

zunächst einmal herzlich willkommen im Matheraum [willkommenmr]

> Wie löse ich diese  Exponentialgleichung:
>  
> [mm]2^{2x+5}-3*2^{x+2}+1=0[/mm]

Hast du eigene Lösungsansätze ?? Oder Ideen ??
WICHTIG !!! Wir können dir am besten helfen, wenn du uns verrätst was du dir schon überlegt hast. Und ich hoffe doch sehr, dass du schon eine Weile über dieser Aufgabe brütest, denn nur durch eigene Gedanken kommst du in der Mathematik weiter.

Nun gut, aber da ich aus eigener Erfahrung weiß, dass man manchmal einfach auf dem Schlauch steht werde ich dir den Einstieg in diese Aufgabe erleichtern.

Zunächst einmal brauchen wir ein paar kleine Potenzgesetze:
Mache dich mit diesen MBPotenzgesetz vertraut.

Nun können wir deine Gleichung ein wenig anders hinschreiben.
[mm]2^{2x+5}-3*2^{x+2}+1=0[/mm]
[mm]2^{2x}*2^5-3*2^x*2^2+1=0[/mm]
[mm]32*(2^x)^2-12*2^x+1=0[/mm]

Nun musst du folgende Subsitution vornehmen [mm] y:=2^x [/mm]

Und die Quadratische Gleichung die du erhällst lösen.

Probier mal aus wie weit du kommst und verrate uns deinen Rechenweg.

Mit freundlichen Grüßen,
Andi
Bezug
                
Bezug
Exponentialgleichungen: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 So 13.02.2005
Autor: PPP

Erst mal vielen Dank für den Ansatz, da hätte ich auchs selbst drauf kommen können!!

Lösung:

[mm] 2^{2x+5}-3*2^{x+2}+1=0 [/mm]
[mm] 2^{2x}*2^{5}-3*2^{x}*2^{2}+1=0 [/mm]      | [mm] 2^{x}=u [/mm]
[mm] u^{2}*2^{5}-3*u*2^{2}+1=0 [/mm]
[mm] 32u^{2}-12u+1=0 [/mm]      |/32
[mm] u^{2}-0,375u+\bruch{1}{32}=0 [/mm]
[mm] u_{1;2}= 0,1875\pm\wurzel{-0,1875^{2}-\bruch{1}{32}} [/mm]
[mm] u_{1}= [/mm] 0,1875+0,0625                      
[mm] u_{1}= [/mm] 0,25                                      
[mm] 2^{x_{1}}=0,25 [/mm]
[mm] x_{1}=-2 [/mm]        

[mm] u_{2}= [/mm] 0,1875-0,0625
[mm] u_{2}= [/mm] 0,125
[mm] 2^{x_{2}}=0,125 [/mm]
[mm] x_{2}=-3 [/mm]        
              
[mm] |L\{-3;-2\} [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Exponentialgleichungen: Gratulation
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 So 13.02.2005
Autor: Andi

Hallo PPP,

> Erst mal vielen Dank für den Ansatz, da hätte ich auchs
> selbst drauf kommen können!!

Kein Problem, dafür sind wir ja da.
  
> Lösung:
>
> [mm]2^{2x+5}-3*2^{x+2}+1=0 [/mm]
>  [mm]2^{2x}*2^{5}-3*2^{x}*2^{2}+1=0[/mm]      | [mm]2^{x}=u [/mm]
>  [mm]u^{2}*2^{5}-3*u*2^{2}+1=0 [/mm]
>  [mm]32u^{2}-12u+1=0[/mm]      |/32
>  [mm]u^{2}-0,375u+\bruch{1}{32}=0 [/mm]
>  [mm]u_{1;2}= 0,1875\pm\wurzel{-0,1875^{2}-\bruch{1}{32}} [/mm]
>  
> [mm]u_{1}=[/mm] 0,1875+0,0625                      
> [mm]u_{1}=[/mm] 0,25                                      
>
> [mm]2^{x_{1}}=0,25 [/mm]
>  [mm]x_{1}=-2[/mm]        
>
> [mm]u_{2}=[/mm] 0,1875-0,0625
>  [mm]u_{2}=[/mm] 0,125
>  [mm]2^{x_{2}}=0,125 [/mm]
>  [mm]x_{2}=-3[/mm]        
>
> [mm]|L\{-3;-2\}[/mm]
>  

[ok] Vielen Dank für deine Lösung.
Ist alles richtig.

Mit freundlichen Grüßen,
Andi
Bezug
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