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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Do 07.02.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Zeige, dass es genau ein [mm] x_0\in[0,\bruch{1}{100}]gibt, [/mm] das Lösung der Gleichung [mm] cos(200x)=e^x-1 [/mm] ist. |
Ich würde hier zunächst die Umformung für Cosinus anwenden:
cos (200x)= [mm] \bruch{1}{2}(e^{200ix}+e^{-200ix}). [/mm] Aber wie zeige ich dann, dass es wirklich nur die eine Lösung im Intervall gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Do 07.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Zeige, dass es genau ein [mm]x_0\in[0,\bruch{1}{100}]gibt,[/mm] das
> Lösung der Gleichung [mm]cos(200x)=e^x-1[/mm] ist.
> Ich würde hier zunächst die Umformung für Cosinus
> anwenden:
> cos (200x)= [mm]\bruch{1}{2}(e^{200ix}+e^{-200ix}).[/mm] Aber wie
> zeige ich dann, dass es wirklich nur die eine Lösung im
> Intervall gibt?
Die Funktion [mm] y=\cos{(200x)}hat [/mm] die kleinste Periode [mm] \bruch{\pi}{100} [/mm] , und in der ersten Hälfte dieser Periode ist sie monoton fallend.
Da die genannte e-Funktion monoton wachsend ist, kann es in der ersten Halbperiode nur einen Schnittpunkt geben. (Und es muss einen in der 1. Viertelperiode geben, weil der Kosinus dort von 1 auf 0 fällt, während [mm] e^x-1 [/mm] von 0 kommend steigt.
Da die Intervalllänge 1/100 kürzer ist als die halbe Periodenlänge, kann es dort keinen zweiten Schnittpunkt geben.
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