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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:53 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Skipper |
Hi
Könnt ihr mir helfen? Ich sitzte schon seit Stunden an den Aufgaben, komme aber nicht wirklich vorran.
2. Das Ziel dieser Aufgabe ist es, zu zeigen, dass die Exponentialfunktion über [mm] \IC [/mm] die Periode [mm] 2\pi [/mm] i hat. Genauer:
(a) Zeigen Sie dass für alle Zahlen [mm] z\in\IC [/mm] gilt: [mm] exp(z)=exp(z+2\pi [/mm] i).
(b) Falls [mm] z_{1} [/mm] und [mm] z_{2} [/mm] komplexe Zahlen sind mit [mm] exp(z_{1})=exp(z_{2}, [/mm]
dann gibt es eine Zahl [mm] k\in\IZ, [/mm] so dass [mm] z_{1}-z_{2}=2\pi [/mm] i ist.
(Zeigen sie zunächst Teil (a). Um (b) zu zeigen, können Sie zum Beispiel so vorgehen:
(a) Für alle [mm] z\in\IC [/mm] ist [mm] exp\not= [/mm] 0.
(b) Für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] gilt: |exp(x+iy)|=|exp(x)|.
(c) Wenn [mm] y\in\IR [/mm] eine Zahl ist mit exp(iy)=1, dann gibt es ein [mm] k\in\IZ, [/mm] so dass [mm] y=2\pi [/mm] k ist.
Zeigen sie dannden zweiten Teil.)
Vielleicht wisst ihr ja Ansätze oder habt Ideen.
Vielen dank zumindest.
Skipper
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Mi 05.01.2005 | | Autor: | rAiNm4n |
Hallo Skipper,
> (a) Zeigen Sie dass für alle Zahlen [mm]z\in\IC[/mm] gilt:
> [mm]exp(z)=exp(z+2\pi[/mm] i).
Ich denke, das müsste über die Eulersche Identität zu machen sein:
[mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)
[/mm]
> (b) Falls [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] komplexe Zahlen sind mit
> [mm]exp(z_{1})=exp(z_{2},[/mm]
> dann gibt es eine Zahl [mm]k\in\IZ,[/mm] so dass [mm]z_{1}-z_{2}=2\pi[/mm] i
> ist.
Die Aufgabenstellung leuchtet mir nicht ganz ein. Könnte es sein, dass das i eventuell ein k sein soll?
Grüße,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Mi 05.01.2005 | | Autor: | Skipper |
> > (b) Falls [mm]z_{1}[/mm] und [mm]z_{2}[/mm] komplexe Zahlen sind mit
> > [mm]exp(z_{1})=exp(z_{2},[/mm]
> > dann gibt es eine Zahl [mm]k\in\IZ,[/mm] so dass [mm]z_{1}-z_{2}=2\pi[/mm]
> i
> > ist.
>
> Die Aufgabenstellung leuchtet mir nicht ganz ein. Könnte es
> sein, dass das i eventuell ein k sein soll.
Danke, war mein Fehler ;
Es heißt "i*k" also hier die Berichtigung:
... so dass [mm] z_{1}-z_{2}=2\pi [/mm] i k
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Mi 05.01.2005 | | Autor: | MathePower |
Hallo,
zum Beweis die Eulersche Formel zu verwenden ist ganz
hervorragend.
Gruß
MathePower
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