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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 27.04.2005 | | Autor: | Hensing |
Hallo!
Ich bin auf der Suche nach einer schönen Herleitung der Exp.Fkt mittels folgender Bedingung:
$$f'(x) = f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = f(a) [mm] \exp [/mm] (t-a)$$
Man erhält sozusagen nur durch "Ableitung = Funktion selbst" die Exp-Fkt und muß diese nur noch auf Null normieren.
Hatte als Idee die Intervallschachtelung aber kam da nicht so weit ...
Jemand von Euch ne Idee oder Buchtip? Hab das irgendwo schonmal gelesen!
Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Das die Exponentialfunktion die einzige Funktion ist, die $f'=f$ erfüllt, findest du (inkl. Herleitung) eigentlich in jedem Analysis I-Buch.
Dass die Exponentialfunktion diese Gleichung erfüllt, kann man anhand eines Potenzreihenansatzes leicht einsehen. Und dass sie die einzige Lösung ist (bis auf Multiplikation mit einem Skalar), sieht man daran, dass der Lösungraum der linearen Gleichung eindimensional ist, weil es eine Gleichung ersten Grades ist.
Gruß, banachella
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