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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:11 Do 11.04.2013 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | | Begründe, warum [mm]g(x)=2^x[/mm] eine Umkehrfunktion besitzt. |
(Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.)
Hallo liebe Mathefreunde,
wenn ich den Arbeitsauftrag richtig verstehe, heißt "Begründe", dass man mit Hilfe von mathematischen Regeln und Beziehungen, den Sachverhalt auf eine Gesetzmäßigkeit zurückführt.
Demnach müsste ich doch zeigen, dass g(x) injektiv und surjektiv ist und somit bijektiv, was nichts anderes bedeutet, dass g(x) umkehrbar ist?
Definitionsbereich: [mm]D_g = \IR [/mm]
Wertebereich: [mm] W_g = \IR^{\ge 0} [/mm]
injektiv: aus [mm] x_1, x_2 \in D_g[/mm] mit [mm] x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2) [/mm]
FRAGE: Macht es überhaupt Sinn, zwei beliebige Werte zu nehmen und dann zwei verschiedene Funktionswerte zu erhalten? Wie zeige ich denn, dass es allgemein gültig ist - sprich: Wie kann ich zeigen, dass für alle [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2) [/mm] ist ??
surjektiv: [mm] g(D_g)=W_g [/mm]
bzw. dass [mm]g^{-1}(W_g)=D_g [/mm] ist.
FRAGE: Oder wie zeigt man, dass eine Funktion surjektiv ist ?
Leider bin ich im Moment total unsicher ...
Vielen Dank für eure Hilfe.
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Hallo,
für Funktionen vom Typ y=f(x) reicht es aus nachzuweisen, dass sie streng monoton sind. Das ist gleichbedeutend mit Daraus folgt nämlich die Injektivität, und man muss dann nur noch den Wertebereich als Zielmenge nehmen, dann hat man auch die Surjektivität.
Gruß, Diophant
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> für Funktionen vom Typ y=f(x) reicht es aus nachzuweisen,
> dass sie streng monoton sind. Das ist gleichbedeutend mit
> Injektivität ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
nein, gleichbedeutend ist das nicht, aber aus der Eigenschaft
der strengen Monotonie folgt die Injektivität !
Gruß !
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:11 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
> > für Funktionen vom Typ y=f(x) reicht es aus nachzuweisen,
> > dass sie streng monoton sind. Das ist gleichbedeutend mit
> > Injektivität
>
>
> nein, gleichbedeutend ist das nicht, aber aus der
> Eigenschaft
> der strengen Monotonie folgt die Injektivität !
Da hast du völlig Recht. Ich meinte es eigentlich auch so, war aber bei der Formulierung meines Beitrags zu nachlässig.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:49 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Olli1968 |
Danke - auf die Idee mit der Monotonie bin ich gar nicht gekommen. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Fr 12.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Begründe, warum [mm]g(x)=2^x[/mm] eine Umkehrfunktion besitzt.
> (Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.)
>
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> wenn ich den Arbeitsauftrag richtig verstehe, heißt
> "Begründe", dass man mit Hilfe von mathematischen Regeln
> und Beziehungen, den Sachverhalt auf eine Gesetzmäßigkeit
> zurückführt.
>
> Demnach müsste ich doch zeigen, dass g(x) injektiv und
> surjektiv ist und somit bijektiv, was nichts anderes
> bedeutet, dass g(x) umkehrbar ist?
>
> Definitionsbereich: [mm]D_g = \IR[/mm]
> Wertebereich: [mm]W_g = \IR^{\ge 0}[/mm]
Das stimmt nicht. Richtig: [mm]W_g = \IR^{> 0}[/mm]
>
> injektiv: aus [mm]x_1, x_2 \in D_g[/mm] mit [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2)[/mm]
>
> FRAGE: Macht es überhaupt Sinn, zwei beliebige Werte zu
> nehmen und dann zwei verschiedene Funktionswerte zu
> erhalten? Wie zeige ich denn, dass es allgemein gültig ist
> - sprich: Wie kann ich zeigen, dass für alle [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2)[/mm]
> ist ??
Dazu hat Diophant schon etwas gesagt.
>
>
> surjektiv: [mm]g(D_g)=W_g[/mm]
> bzw. dass [mm]g^{-1}(W_g)=D_g[/mm] ist.
>
> FRAGE: Oder wie zeigt man, dass eine Funktion surjektiv ist
Wie löst Du , für positives y, die Gleichung
[mm] 2^x=y
[/mm]
?
FRED
> ?
>
> Leider bin ich im Moment total unsicher ...
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:52 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Olli1968 |
> > Begründe, warum [mm]g(x)=2^x[/mm] eine Umkehrfunktion besitzt.
> > (Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gepostet.)
> >
> > Hallo liebe Mathefreunde,
> >
> > wenn ich den Arbeitsauftrag richtig verstehe, heißt
> > "Begründe", dass man mit Hilfe von mathematischen Regeln
> > und Beziehungen, den Sachverhalt auf eine Gesetzmäßigkeit
> > zurückführt.
> >
> > Demnach müsste ich doch zeigen, dass g(x) injektiv und
> > surjektiv ist und somit bijektiv, was nichts anderes
> > bedeutet, dass g(x) umkehrbar ist?
> >
> > Definitionsbereich: [mm]D_g = \IR[/mm]
> > Wertebereich: [mm]W_g = \IR^{\ge 0}[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Richtig: [mm]W_g = \IR^{> 0}[/mm]
Verstehe ich das richtig, dass die 0 nicht zum Intervalll gehört, da die Funktion g(x) mit [mm]x\to \infty \Rightarrow g(x) \to 0[/mm] konvergiert?
>
>
> >
> > injektiv: aus [mm]x_1, x_2 \in D_g[/mm] mit [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2)[/mm]
>
> >
> > FRAGE: Macht es überhaupt Sinn, zwei beliebige Werte zu
> > nehmen und dann zwei verschiedene Funktionswerte zu
> > erhalten? Wie zeige ich denn, dass es allgemein gültig ist
> > - sprich: Wie kann ich zeigen, dass für alle [mm]x_1 \not= x_2 \Rightarrow g(x_1) \not= g(x_2)[/mm]
> > ist ??
>
> Dazu hat Diophant schon etwas gesagt.
Meine LÖSUNG zur Injektivität:
Sei [mm]x_1,x_2 \in D_g[/mm] und sei [mm] x_2>x_1 [/mm]
dann gilt: [mm]x_2-x_1>0 \Rightarrow 2^{x_2-x_1}>1 [/mm]
und somit [mm] \bruch{2^{x_2}}{2^{x_1}}>1 \gdw 2^{x_2}>2^{x_1} [/mm] somit ist die Funktion g(x) streng monoton steigend auf [mm]D_g[/mm] und somit auch injektiv!
>
>
> >
> >
> > surjektiv: [mm]g(D_g)=W_g[/mm]
> > bzw. dass [mm]g^{-1}(W_g)=D_g[/mm] ist.
> >
> > FRAGE: Oder wie zeigt man, dass eine Funktion surjektiv ist
>
> Wie löst Du , für positives y, die Gleichung
>
> [mm]2^x=y[/mm]
>
> ?
Lösung: [mm] log_2(2^x)=log_2(y) \Rightarrow x=log_2(y)[/mm]
Meine Lösung zur Surjektivität:
Fall 1: Mit [mm]x<0[/mm] folgt: [mm] g(x)=\bruch{1}{2^{\left| x \right|}}\Rightarrow g(x)\to 0[/mm]
Fall 2: Mit [mm]x\ge0[/mm] folgt: [mm] g(x)=2^x \Rightarrow g(x)\to\infty[/mm]
somit erhalte ich das Intervall [mm]I=(0,\infty)=W_g[/mm] womit die Funktion g(x) surjektiv ist.
Da die Funktion [mm]g(x)[/mm] mit [mm]D_g=\IR[/mm] und [mm]W_g=\IR^{>0}[/mm] injektiv und surjektiv ist, folgt, dass g(x) bijektiv und damit umkehrbar ist.
Ist das so in Ordnung?
>
> FRED
> > ?
> >
> > Leider bin ich im Moment total unsicher ...
> >
> > Vielen Dank für eure Hilfe.
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Hallo,
> Meine LÖSUNG zur Injektivität:
> Sei [mm]x_1,x_2 \in D_g[/mm] und sei [mm]x_2>x_1[/mm]
> dann gilt: [mm]x_2-x_1>0 \Rightarrow 2^{x_2-x_1}>1[/mm]
> und somit
> [mm]\bruch{2^{x_2}}{2^{x_1}}>1 \gdw 2^{x_2}>2^{x_1}[/mm] somit ist
> die Funktion g(x) streng monoton steigend auf [mm]D_g[/mm] und somit
> auch injektiv!
Das ist so richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> >
> >
> > >
> > >
> > > surjektiv: [mm]g(D_g)=W_g[/mm]
> > > bzw. dass [mm]g^{-1}(W_g)=D_g[/mm] ist.
> > >
> > > FRAGE: Oder wie zeigt man, dass eine Funktion surjektiv ist
> >
> > Wie löst Du , für positives y, die Gleichung
> >
> > [mm]2^x=y[/mm]
> >
> > ?
>
> Lösung: [mm]log_2(2^x)=log_2(y) \Rightarrow x=log_2(y)[/mm]
>
> Meine Lösung zur Surjektivität:
> Fall 1: Mit [mm]x<0[/mm] folgt: [mm]g(x)=\bruch{1}{2^{\left| x \right|}}\Rightarrow g(x)\to 0[/mm]
>
> Fall 2: Mit [mm]x\ge0[/mm] folgt: [mm]g(x)=2^x \Rightarrow g(x)\to\infty[/mm]
>
Das ist eine völlig verwirrende Schreibweise eines Sachverhalts, den du hier IMO gar nicht benötigst. Der Wertebereich von [mm] y=2^x [/mm] ist [mm] (0;\infty), [/mm] und dies muss ja dann die Urbildmenge bzw. der Definitionsbereich der Umkehrfunktion sein, du musst nur wie gesagt von vornherein die Funktion g als Funktion
[mm]g: \IR \rightarrow \IR^{+}[/mm]
definieren, dann ist sie surjektiv.
> somit erhalte ich das Intervall [mm]I=(0,\infty)=W_g[/mm] womit die
> Funktion g(x) surjektiv ist.
>
> Da die Funktion [mm]g(x)[/mm] mit [mm]D_g=\IR[/mm] und [mm]W_g=\IR^{>0}[/mm] injektiv
> und surjektiv ist, folgt, dass g(x) bijektiv und damit
> umkehrbar ist.
>
> Ist das so in Ordnung?
Ja.
Gruß, Diophant
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