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Hallo,
in unserer Vorlesung wurde gesagt, dass die Partialsumme [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] sehr schnell gegen e konvergiert.
Es gilt nämlich für die Folge [mm] R_{n+1} [/mm] := e - [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{1}{k!}: R_n [/mm] = [mm] O(\bruch{1}{n!}). [/mm] (Bis hierhin habe ich alles verstanden)
(Jetzt kommt der Teil, der mir unklar ist)
Dann wurde die Behauptung aufgestellt, dass [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] langsam gegen e konvergiert. Man könnte nämlich beweisen, dass e - [mm] (1+\bruch{1}{n})^n \sim \bruch{e}{2n} [/mm] (also, dass beide Folgen asymptotisch sind), und somit insbesondere gilt: e - [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] O(\bruch{1}{n}).
[/mm]
Ich habe versucht, das zu beweisen, komme aber überhaupt nicht zurecht.
Grüsse
Alexander
EDIT: Dann noch eine Frage am Rande, die nichts mit oben zu tun hat: Was ist mit den ,,fünf komplexen Wurzeln von 1" gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 So 27.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> in unserer Vorlesung wurde gesagt, dass die Partialsumme
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm] sehr schnell gegen e
> konvergiert.
> Es gilt nämlich für die Folge [mm]R_{n+1}[/mm] := e -
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=n+1}^{\infty}\bruch{1}{k!}: R_n[/mm] =
> [mm]O(\bruch{1}{n!}).[/mm] (Bis hierhin habe ich alles verstanden)
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> (Jetzt kommt der Teil, der mir unklar ist)
> Dann wurde die Behauptung aufgestellt, dass
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] langsam gegen e konvergiert. Man könnte
> nämlich beweisen, dass e - [mm](1+\bruch{1}{n})^n \sim \bruch{e}{2n}[/mm]
> (also, dass beide Folgen asymptotisch sind), und somit
> insbesondere gilt: e - [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] =
> [mm]O(\bruch{1}{n}).[/mm]
> Ich habe versucht, das zu beweisen, komme aber überhaupt
> nicht zurecht.
Hallo, vielleicht hilft es, die ersten drei bis vier Summanden von [mm] $(1+\bruch{1}{n})^n$ [/mm] zu berechnen, wenn du [mm] $(1+\bruch{1}{n})^n$ [/mm] nach dem binomischen Satz ausmultiplizierst.
Dann kannst du diese ersten Summanden mit den ersten Summanden der Reihenentwicklung von e vergleichen.
>
> Grüsse
> Alexander
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> EDIT: Dann noch eine Frage am Rande, die nichts mit oben zu
> tun hat: Was ist mit den ,,fünf komplexen Wurzeln von 1"
> gemeint?
Das sind die 5 verschiedenen komplexen Zahlen z, für die [mm] $z^5=1$ [/mm] gilt.
Eine von ihnen ist 1, eine zweite ist cos(72°)+i*sin(72°)
(siehe Formel von Moivre).
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> Hallo, vielleicht hilft es, die ersten drei bis vier
> Summanden von [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] zu berechnen, wenn du
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] nach dem binomischen Satz
> ausmultiplizierst.
> Dann kannst du diese ersten Summanden mit den ersten
> Summanden der Reihenentwicklung von e vergleichen.
Ich habe deinen Lösungsansatz versucht, aber so recht habe ich jetzt nicht gesehen, wie mich das weiterbringen könnte. Mein Prof meinte, man bräuchte dazu, dass log(1+x) = x - [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + [mm] o(x^2) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 ist, aber das werden wir erst später noch beweisen.
> Das sind die 5 verschiedenen komplexen Zahlen z, für die
> [mm]z^5=1[/mm] gilt.
> Eine von ihnen ist 1, eine zweite ist
> cos(72°)+i*sin(72°)
> (siehe Formel von Moivre).
Ok danke. Wir hatten heute aber auch erst in der Vorlesung definiert, was die n-te Wurzel aus einer komplexen Zahl ist.
Gruss
Alexander
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