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| Aufgabe | In einem See wird zu einem Zeitpunkt x=0 eine bestimmte Anzahl von Fischen (Anfangsbestand der Fischpopulation) eingesetzt, die im Laufe der Zeit zunimmt. Da der See wegen seiner Größe nicht beliebig viele Fische ernähren kann, ist diese Zunahme nach oben beschränkt. Die folgende Funktion beschreibt diesen Wachstumsprozess:
[mm] $f(x)=\bruch{400*e^{0,1x}}{10+e^{0,1x}}$
[/mm]
Hierbei bezeichnet f(x) die Anzahl der Fische zum Zeitpunkt x in Jahren. Führen Sie Ihre Rechnung ohne Berücksichtigung der Maßeinheiten durch.
a) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für f an.
b) Skizzieren sie den Graphen der Funktion in einem Koordinatensystem ($0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 100$).
c) Ermitteln Sie, wie viele Fische ursprünglich in den See eingesetzt wurden.
d) Berechnen Sie, wie viele Fische der See maximal ernähren kann.
e) Markieren Sie in der Skizze den Punkt, an dem die Wachstumsgeschwindigkeit der Fischpopulation maximal ist. Begründen Sie Ihre Wahl. Geben Sie den zugehörigen Zeitpunkt an. Beschreiben Sie einen Lösungsansatz, mit dem dieser Zeitpunkt rechnerisch ermittel werden kann.
f) In dem See lebten zum Zeitpunkt x=0 schon 500 Fische einer anderen Fischart b. Nach 10 Jahren zählte man nur noch 300 B-Fische. Bestimmen Sie ausgehend von der Annahme, dass der Wachstumsprozess durch eine e-Funktion beschrieben wird, die Funktionsvorschrift b(x).
f) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem von der Fischart B nur noch 20% der Ausgangspoplulation vorhanden ist. |
Hey Leute,
also zunächst zu a):
$36 [mm] \le [/mm] f [mm] \le [/mm] 400$
Ist dieser Definitionsbereich sinnvoll?
c) Müsste doch 36 sein, oder? Da x = 0.
d) Wie müsste der Ansatz hier lauten?
Danke!
LG
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Hallo Steffi2012,
> In einem See wird zu einem Zeitpunkt x=0 eine bestimmte
> Anzahl von Fischen (Anfangsbestand der Fischpopulation)
> eingesetzt, die im Laufe der Zeit zunimmt. Da der See wegen
> seiner Größe nicht beliebig viele Fische ernähren kann,
> ist diese Zunahme nach oben beschränkt. Die folgende
> Funktion beschreibt diesen Wachstumsprozess:
>
> [mm]f(x)=\bruch{400*e^{0,1x}}{10+e^{0,1x}}[/mm]
>
> Hierbei bezeichnet f(x) die Anzahl der Fische zum Zeitpunkt
> x in Jahren. Führen Sie Ihre Rechnung ohne
> Berücksichtigung der Maßeinheiten durch.
>
> a) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für f
> an.
> b) Skizzieren sie den Graphen der Funktion in einem
> Koordinatensystem ([mm]0 \le x \le 100[/mm]).
> c) Ermitteln Sie, wie
> viele Fische ursprünglich in den See eingesetzt wurden.
> d) Berechnen Sie, wie viele Fische der See maximal
> ernähren kann.
> e) Markieren Sie in der Skizze den Punkt, an dem die
> Wachstumsgeschwindigkeit der Fischpopulation maximal ist.
> Begründen Sie Ihre Wahl. Geben Sie den zugehörigen
> Zeitpunkt an. Beschreiben Sie einen Lösungsansatz, mit dem
> dieser Zeitpunkt rechnerisch ermittel werden kann.
> f) In dem See lebten zum Zeitpunkt x=0 schon 500 Fische
> einer anderen Fischart b. Nach 10 Jahren zählte man nur
> noch 300 B-Fische. Bestimmen Sie ausgehend von der Annahme,
> dass der Wachstumsprozess durch eine e-Funktion beschrieben
> wird, die Funktionsvorschrift b(x).
> f) Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem von der Fischart B
> nur noch 20% der Ausgangspoplulation vorhanden ist.
> Hey Leute,
> also zunächst zu a):
> [mm]36 \le f \le 400[/mm]
Das ist doch der Wertebereich von f.
> Ist dieser Definitionsbereich sinnvoll?
> c) Müsste doch 36 sein, oder? Da x = 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> d) Wie müsste der Ansatz hier lauten?
Berechne den Grenzwert von f für [mm]x \to \infty[/mm]
>
> Danke!
>
> LG
Gruss
MathePower
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