Exponentialfunktion < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:32 Sa 23.04.2005 | | Autor: | maxxx |
Hallo zusammen,
da ich zum ersten mal eine Frage in diesem Forum stelle, stelle ich mich am besten kurz vor. Ich bin 22 und fange gerade mit einem WIWI-Studium an der FH an. Meine Schulkenntnisse in Mathe sind etwas eingerostet. Ich schätze mal, daß das folgende Problem für Könner kein richtiges ist:
Im Mathevorkurs haben wir uns heute mit Exponential- und Logarithmusfunktionen befasst. Exponentialfunktionen haben wir durch folgende Zuordnungsvorschrift definiert:
f(x)= [mm] a^{x}
[/mm]
Jetzt wollte ich den Stoff nacharbeiten und bin auf eine völlig andere Definition gestoßen, nämlich:
f(x) = [mm]\lim_{n \to \infty} \left( 1 + {x \over n} \right)^n[/mm]
Mein Problem liegt darin, daß ich die beiden Ansätze gedanklich nicht unter einen Hut kriege. Scheinbar ist die zweite Formel eine allgemeinere Darstellung. Wenn das so ist, dann müßte man doch eine beliebige Exponentialfunktion - bspw. [mm] f(x)=3^{x} [/mm] - in diese Standardform umformulieren können. Das habe ich nicht hingekriegt. Meine konkreten Fragen lauten daher:
1.) In welchem Verhältnis stehen die beiden Standardformen zueinander?
2.) Wie kann ich die genannte Exponentialfunktion gemäß der zweiten Schreibweise umformen?
Bin für alle Antworten dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:17 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo maxx!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Also, man kann zeigen, dass
[mm] $e^x [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right)^n$
[/mm]
gilt. Dies sieht man nicht direkt, es ist eine aufwändige Konvergenzbetrachtung (die davon abhängt, wie man die Eulersche Zahl überhaupt definiert hat).
Andererseits gilt für beliebiges $a>0$:
[mm] $a^x [/mm] = [mm] e^{x \cdot \ln(a)}$.
[/mm]
Daher erhält man:
[mm] $a^x [/mm] = [mm] e^{x \cdot \ln(a)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x\cdot \ln(a)}{n} \right)^n$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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