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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 Do 29.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen.
Ich habe eine furchtbar blöde Frage zur Konvergenz der Exponentialfunktion.
Nämlich: Wogegen konvergiert sie eigentlich?
Wir haben hier in der VL nämlich die dazugehörige Potenzreihe, und die soll wohl konvergieren.
Wenn ich mir jetzt aber die e-Funktion mal graphisch anschaue, dann strebt sie gegen Unendlich, und ich habe mal gelernt, dass das Streben ins Unendliche eher als Divergenz statt als Konvergenz betrachtet wird.
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Do 29.05.2008 | | Autor: | vivo |
> Hallo zusammen.
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> Ich habe eine furchtbar blöde Frage zur Konvergenz der
> Exponentialfunktion.
> Nämlich: Wogegen konvergiert sie eigentlich?
>
> Wir haben hier in der VL nämlich die dazugehörige
> Potenzreihe, und die soll wohl konvergieren.
>
> Wenn ich mir jetzt aber die e-Funktion mal graphisch
> anschaue, dann strebt sie gegen Unendlich, und ich habe mal
> gelernt, dass das Streben ins Unendliche eher als Divergenz
> statt als Konvergenz betrachtet wird.
>
> LG, Nadine
Hallo,
exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}
[/mm]
diese Reihe konvergiert z.B. für einen bestimmten Wert von x gegen einen Wert
und sie konvergiert sogar für alle reellen x
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 29.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo.
> Hallo,
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> exp(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^n}{n!}[/mm]
>
> diese Reihe konvergiert z.B. für einen bestimmten Wert von
> x gegen einen Wert.
Aber gegen welchen Wert konvergiert sie?
Ich kann mir das graphisch auch einfach nicht erklären.
Was wäre, wenn ich x=5 hätte.
Dann ist der Funktionswert irgendwas um die 150.
Aber wogegen konvergiert die e-Funktion da?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nadine!
Die Exponentialfunktion konvergiert nicht. Aber die Exponentialreihe [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}$ [/mm] schon.
Denn diese konvergiert z.B. für $x \ = \ 5$ gegen den Wert [mm] $\exp(5) [/mm] \ = \ [mm] e^5 [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 148$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 29.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> Die Exponentialfunktion konvergiert nicht. Aber die
> Exponentialreihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{n!}[/mm]
> schon.
Ich dachte immer, das wäre dasselbe, nur in einer anderen Schreibweise ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") .
Weil wir schreiben ja auch immer [mm] e^x [/mm] statt exp(x).
Wo ist denn da der Unterschied?
Genauso ja bei den Sinus- und Cosinus-Reihen.
Ist das dann auch nicht das selbe?
Weil ich hab hier z.B. stehen [mm] sin(z)=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}.
[/mm]
Und da dacht ich immer die ganze Zeit, das ist gleich dem Sinus, weil ja sin(z)=... davor steht
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nadine!
[mm] $\exp(x)$ [/mm] und [mm] $e^x$ [/mm] sind einfach nur unterschiedliche Schreibweisen.
Und die genannten Reihen konvergieren ja erst mit sehr großen $n_$ gegen die entsprechenden Funktionswerte. Denn je mehr Summanden Du berücksichtigst, umso mehr nähern sich diese Werte den Funktionswerten an.
Summiere nur mal die ersten 3 Summanden, da wirst Du nur eine grobe Näherung erhalten. Erst mit vielen Summanden wird's was ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Do 29.05.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Loddar!
Die Exponentialreihe ist quasi eine Approximation der Exponentialfunktion?
Und die Exponentialreihe konvergiert dann gegen die Exponentialfunktion (für unendlich viele Summanden)?
Aber was ist in der ersten Antwort gemeint mit konvergiert für jedes x?
Ist das punktweise Konvergenz? Geht es auch anders?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nadine!
Das kann man wohl m.E. so sagen. Ich weiß jetzt nur nicht, ob irgendwelche mathematischen Pfennigfuchser da etwas auszusetzen hätten.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Do 29.05.2008 | | Autor: | z3r4t4r |
Hi Nadine,
die Reihe konvergiert gegen [mm] e^{x} \forall [/mm] x [mm] \in \IR.
[/mm]
Zu beachten ist, dass x fest gewählt ist! und du bekommst z.B. für x=5 den Wert [mm] e^{5}\approx [/mm] 148,41
Gruß,
Max
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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