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Hi, in einem Beweis in meinem Skript zeigt der Professor [mm] \frac{e^x}{x^n}\ge\frac{x}{(n+1)!}, [/mm] x>=0. Das verstehe ich.
Dann soll daraus folgen [mm] \lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty. [/mm] Wieso folgt das daraus? Wir schätzen doch nach unten ab...
Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Mo 27.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi, in einem Beweis in meinem Skript zeigt der Professor
> [mm]\frac{e^x}{x^n}\ge\frac{x}{(n+1)!},[/mm] x>=0. Das verstehe
> ich.
> Dann soll daraus folgen
> [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}=\infty.[/mm] Wieso folgt das
> daraus? Wir schätzen doch nach unten ab...
Es ist doch [mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}\frac{x}{(n+1)!}= \infty$
[/mm]
Wegen
[mm] \frac{e^x}{x^n}\ge\frac{x}{(n+1)!} [/mm] für x>0
folgt dann [mm] $\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}= \infty$
[/mm]
FRED
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> Danke!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Es ist doch [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}\frac{x}{(n+1)!}= \infty[/mm]
Das ist mir klar.
> Wegen
>
> [mm]\frac{e^x}{x^n}\ge\frac{x}{(n+1)!}[/mm] für x>0
>
> folgt dann [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}= \infty[/mm]
Genau das verstehe ich nicht. Ich betrachte eine Funktion f für [mm] x\to\infty. [/mm] Dazu schätze ich nach unten ab f ab und betrachte eine neue Funktion g. Wenn g gegen [mm] \infty [/mm] geht, dann geht f gegen [mm] \infty. [/mm] Wieso ist das so? Geht das immer? Ich kenne den 3-Folgen-Satz, aber das passt dort auch irgendwie nicht rein oder irre ich mich? Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Mo 27.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist doch [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}\frac{x}{(n+1)!}= \infty[/mm]
>
> Das ist mir klar.
>
> > Wegen
> >
> > [mm]\frac{e^x}{x^n}\ge\frac{x}{(n+1)!}[/mm] für x>0
> >
> > folgt dann [mm]\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}= \infty[/mm]
>
> Genau das verstehe ich nicht. Ich betrachte eine Funktion f
> für [mm]x\to\infty.[/mm] Dazu schätze ich nach unten ab f ab und
> betrachte eine neue Funktion g. Wenn g gegen [mm]\infty[/mm] geht,
> dann geht f gegen [mm]\infty.[/mm] Wieso ist das so? Geht das immer?
> Ich kenne den 3-Folgen-Satz, aber das passt dort auch
> irgendwie nicht rein oder irre ich mich? Danke.
Dann müssen wir uns offenbar darüber unterhalten, wie
[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)= \infty$
[/mm]
definiert ist. Nämlich so:
Sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IR [/mm] , D sei nach oben nicht beschränkt und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] sei eine Funktion.
[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)= \infty$ [/mm] : [mm] \gdw
[/mm]
zu jedem c>0 ex. ein [mm] x_0=x_0(c) \in [/mm] D mit: f(x)>c für alle x [mm] \in [/mm] D mit x [mm] \ge x_0.
[/mm]
Ist nun $g:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine weitere Funktion und gilt f(x) [mm] \ge [/mm] g(x) für alle x [mm] \in [/mm] D, so folgt aus
[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}g(x)= \infty$
[/mm]
mit obiger Def. sofort
[mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)= \infty$
[/mm]
FRED
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Vielen lieben Dank für die Erklärung!
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